2017-全国卷I理-02 单-几何概型

本题导读

本题考查几何概型，以及图形的对称性。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(理)） 如图，正方形 $ABCD$ 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 ()

A. $\frac{1}{4}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{8}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{4}$

🔍【思路分析】

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1. 明确几何概型公式：$P=\frac{\text{目标区域面积}}{\text{总区域面积}}$。本题的总区域是正方形，目标区域是黑色部分。
2. 建立面积关系：

• 设正方形边长为 $a$，则其面积 $S_{\text{正}}=a^2$。
• 内切圆的半径 $r=\frac{a}{2}$，圆面积 $S_{\text{圆}}=\pi r^2=\frac{\pi a^2}{4}$。

3. 利用对称性：由于黑色部分和白色部分关于中心对称，说明两部分面积相等，各占圆面积的一半。即 $S_{\text{黑}}=\frac{1}{2}{S}_{\text{圆}}$。
4. 计算概率：代入公式求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B 【解析过程】 设正方形 $ABCD$ 的边长为 $a$，则正方形的面积 $S_{\text{正方形}}=a^2$。 该正方形的内切圆半径 $r=\frac{a}{2}$。 内切圆的面积 $S_{\text{圆}}=\pi \cdot (\frac{a}{2}{)}^2=\frac{\pi a^2}{4}$。 由图形的对称性可知，黑色部分和白色部分面积相等， 故黑色部分的面积 $S_{\text{黑}}=\frac{1}{2}{S}_{\text{圆}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi a^2}{4}=\frac{\pi a^2}{8}$。 根据几何概型概率计算公式，所求概率为： $P=\frac{S_{\text{黑}}}{S_{\text{正方形}}}=\frac{\frac{\pi a^2}{8}}{a^2}=\frac{\pi }{8}$ 故选 B

秒杀解析： 由图直观观察，黑色部分面积显然小于圆面积的一半（即小于正方形面积的 $\frac{\pi }{8}\approx 0.39$），且大于正方形面积的 $\frac{1}{4}=0.25$。 选项 A 为 0.25，选项 C 为 0.5，选项 D 约为 0.78。 只有 B 选项 $\frac{\pi }{8}\approx 0.3925$ 符合范围 $\frac{1}{4}<P<\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 数学文化：此类题目体现了数学与传统文化的结合，难度通常不高，重在理解图形特征。
• 对称性的妙用：在处理阴影面积时，中心对称或轴对称常能将复杂图形简化为已知图形的一半或几分之几。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考： 若题目改为“在圆内随机取一点，则落在黑色部分的概率”，则答案应为 $\frac{1}{2}$。注意分清“总区域”是正方形还是圆。

2. 几何概型常见类型：

• 长度型：$P=\frac{\text{目标长度}}{\text{总长度}}$
• 面积型：$P=\frac{\text{目标面积}}{\text{总面积}}$（本题所属类型）
• 体积型：$P=\frac{\text{目标体积}}{\text{总体积}}$

3. 数值估算技巧： 在考场上，若记不清 $\pi$ 的精确关系，可取 $\pi \approx 3.14$ 进行估算。$\frac{3.14}{8}\approx 0.39$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-11 单-几何概型
• 2013-四川卷理-09 单-几何概型
• 2013-山东卷理-14 填-几何概型