2017-全国卷II文-08 单-对数函数

本题导读

考查复合对数函数的定义域求解及其单调区间的判定，属于基础题。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(文)） 函数 $f(x)=\ln (x^2-2x-8)$ 的单调递增区间为 ()

A. $(-\infty ,-2)$　　　　B. $(-\infty ,1)$　　　　C. $(1,+\infty )$　　　　D. $(4,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求函数的定义域：令真数大于 0，即 $x^2-2x-8>0$。
2. 利用复合函数单调性（同增异减）：外层函数 $y=\ln u$ 在其定义域上单调递增，故 $f(x)$ 的单调递增区间即为内层函数 $u(x)=x^2-2x-8$ 单调递增且大于 0 的区间。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

首先求函数的定义域： $x^2-2x-8>0⟹(x-4)(x+2)>0$， 解得定义域为 $(-\infty ,-2)\cup (4,+\infty )$。 内层函数为二次函数 $u=x^2-2x-8=(x-1{)}^2-9$，其对称轴为 $x=1$，在 $(1,+\infty )$ 上单调递增。 结合复合函数单调性“同增异减”规律： 外层函数 $y=\ln u$ 是增函数，故 $f(x)$ 的单调递增区间与内层函数 $u(x)$ 在定义域内的递增区间一致。 内层函数在对称轴右侧即 $x>1$ 时单调递增， 结合定义域 $x>4$（因为当 $1<x\le 4$ 时 $u(x)\le 0$，无意义）， 所以在定义域内满足 $u(x)$ 递增且大于 0 的区间为 $(4,+\infty )$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数复合函数定义域与单调性。
2. 核心方法：同增异减法则。
3. 避坑指南：求复合函数单调区间时，必须首先求出函数的定义域，切勿直接截取内层函数的单调区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数性质常考题。
2. 结论推广: 复合函数 $y=f(g(x))$ 的单调性遵循“同向则增，异向则减”的原则，且必须在定义域范围内讨论。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷I文-13 填-对数函数
• 2018-天津卷理-05 单-对数函数
• 2019-天津卷理-06 单-对数函数