2017-全国卷III文-20 解-抛物线

本题导读

本题考查抛物线与直线的位置关系、三点共圆的判定。核心在于利用向量数量积判断 $AC\perp BC$ 是否成立。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(文)） 在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $y=x^2+mx-2$ 与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点，点 $C$ 的坐标为 $(0,1)$.当 $m$ 变化时，解答下列问题：

(1) 能否出现 $AC\perp BC$ 的情况？说明理由；

(2) 证明过 $A,B,C$ 三点的圆在 $y$ 轴上截得的弦长为定值.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：设 $A(x_1,0)$、$B(x_2,0)$，由韦达定理得 $x_1+x_2$、$x_1{x}_2$。$AC\perp BC⟺\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=0$，检验是否有解。
2. 第(2)问：写出过 $A,B,C$ 三点的圆方程，令 $x=0$ 求出与 $y$ 轴的交点，证明弦长为定值。

✅【答案】

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(1) 不能，理由见解析

(2) 证明见解析，定值为 $3$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $A(x_1,0)$、$B(x_2,0)$，则 $x_1,x_2$ 是方程 $x^2+mx-2=0$ 的两根， 由韦达定理 $x_1+x_2=-m$，$x_1{x}_2=-2$。 $\overrightarrow{CA}=(x_1,-1)$，$\overrightarrow{CB}=(x_2,-1)$。 若 $AC\perp BC$，则 $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=0$，即 $x_1{x}_2+1=0$。 但 $x_1{x}_2=-2$，故 $x_1{x}_2+1=-1\ne 0$，矛盾。 所以不能出现 $AC\perp BC$ 的情况。

(2) 设过 $A,B,C$ 三点的圆方程为 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$。 因为圆过 $C(0,1)$，代入得 $1+E+F=0$，即 $F=-1-E$。 圆与 $x$ 轴的交点横坐标满足 $x^2+Dx+F=0$，其两根恰为 $x_1,x_2$， 由 $x^2+Dx+F=0$ 的两根为 $x_1,x_2$， 有 $x_1+x_2=-D$，$x_1{x}_2=F$。 又 $x_1+x_2=-m$，$x_1{x}_2=-2$，故 $D=m$，$F=-2$。 由 $F=-1-E=-2$，得 $E=1$。 所以圆方程为 $x^2+y^2+mx+y-2=0$。 令 $x=0$，得 $y^2+y-2=0$，解得 $y=1$ 或 $y=-2$。 圆在 $y$ 轴上截得的弦长为 $|1-(-2)|=3$，为定值。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：韦达定理、向量垂直、圆的一般方程、弦长。
2. 核心方法：设圆的一般方程，用韦达定理确定系数。
3. 避坑指南：第(2)问中圆在 $y$ 轴上的弦长是两交点纵坐标之差的绝对值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考解析几何定值问题。
2. 结论推广：过抛物线与坐标轴交点的圆，其在另一坐标轴上的截弦常为定值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-14 填-抛物线
• 2014-福建卷文-21 解-抛物线
• 2023-新高考II卷-10 多-抛物线