2026-新高考I卷-07 单-等差数列通项

本题导读

本题是一道结合中国传统文化背景的数列创新应用题。核心意图在于测试学生从繁复的实际文本中提取离散数列各项数值的能力，并考查如何通过最优配对策略将已知数据分为 6 组，使其组内两数之和构成一个新等差数列的逻辑推理能力。

📌【题干】

Question

（2026年新高考I卷）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩.该塔群共有 108 座塔，依山势自上而下排成 12 行，将第 $i$ 行中塔的座数记为 $a_i(i=1,2,\cdots ,12)$，其中 $a_1=1,a_2=a_3=3,a_4=a_5=5$，且 $a_6,a_7,\cdots ,a_{12}$ 是一个首项为 7，公差为 2 的等差数列.将 $a_1,a_2,\cdots ,a_{12}$ 分为 6 组，每组 2 个数，使得每组的 2 个数之和可构成一个项数为 6 且公差为 $d(d>0)$ 的等差数列.则 $d=$()

A. $2$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $6$　　　　　　　D. $8$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：首先根据题意，逐一计算并完整列出 12 行塔对应的所有数据项 $a_1$ 到 $a_{12}$ 的值。
2. 第二步逻辑：计算这 12 个数构成的总和，并依据新等差数列的求和公式，建立总和与新数列首项 $A_1$ 及公差 $d$ 的代数方程。
3. 第三步逻辑：由于这 12 个数需要两两配对，新数列的第 6 项（即最大和）受到原始数据中最大两个数之和的上界限制。通过极大值放缩与整数整除性分析，在可选范围内夹逼锁定唯一的公差 $d$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

将这 12 个数分为 6 组，每组 2 个数之和构成一个新等差数列 $\{b_n\}$（ $n=1,2,\cdots ,6$ ），公差为 $d>0$。 新等差数列的前 6 项和恒等于原 12 个数据的总和： ${\sum }_{n=1}^6{b}_n=108$ 根据等差数列前 $n$ 项和公式： $6b_1+\frac{6\times 5}{2}d=108⟹6b_1+15d=108$ 化简得到不定方程： $2b_1+5d=36$, 由题意可知：$b_1,d$均为自然数，$4\le b_1\le 16$，$b_1$ 为偶数， 列举法：$b_1=8,d=4$，符合条件的分组数列：$3+5,1+11,3+13,5+15,7+17,9+19$ 故选：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列总和守恒律（分组后总和保持不变）；利用极端值边界进行代数不定方程剔除。
2. 核心方法：首尾配对法、特殊值排除法。
3. 避坑指南：

• 盲目排列组合陷阱：部分学生在得到 12 个数据后，试图盲目穷举 12 个元素的配对可能性。在考场上面对选择题，首要策略是利用求和守恒建立关于公差 $d$ 的约束方程，然后直接代入四个选项进行排除，从而将高难度的组合配对转化为简单的一元一次方程复核。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是新高考新大纲下极具代表性的一类数学建模与文化融合试题，其代数核心源于组合数学中的“高斯双指针配对定理”以及经典数论中的一次不定方程整数解分析。
2. 结论推广： 对于任意包含 $2m$ 个元素的有序离散序列，若将其分为 $m$ 组且每组两数之和构成公差为 $d$ 的新等差数列，则必满足全局总和守恒公理： $m\cdot B_1+\frac{m(m-1)}{2}d={\sum }_{i=1}^{2m}{a}_i$ 通过这一宏观守恒公式，可以直接实现对任意多元素、大梯度的复杂分组求和命题的降维打击。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-18 解-数列分组求和
• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式
• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项