2007-山东卷理-18 解-条件概率

本题导读

本题将古典概型、离散型随机变量的分布列与条件概率进行综合考查。核心在于通过二次方程根的判别式将代数问题转化为点数的计数问题，重点考查逻辑推理与分类讨论的严谨性。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(理)） 设 $b$ 和 $c$ 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量 $\xi$ 表示方程 $x^2+bx+c=0$ 实根的个数（重根按一个计）．

(1) 求方程 $x^2+bx+c=0$ 有实根的概率；

(2) 求 $\xi$ 的分布列和数学期望；

(3) 求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下，方程 $x^2+bx+c=0$ 有实根的概率．

🔍【思路分析】

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1. 第一问：基本事件总数为 $6\times 6=36$。方程有实根的充要条件为 $\Delta =b^2-4c\ge 0$，通过穷举 $b$ 的取值分别确定对应的 $c$ 的个数，算出概率。

2. 第二问：根据“重根按一个计”及 $\Delta$ 的正负符号判定 $\xi$ 的可能取值为 0, 1, 2。分别计算 $\Delta <0$、$\Delta =0$ 和 $\Delta >0$ 的基本事件数，列出分布列并求期望。

3. 第三问：利用条件概率公式 $P(B|A)=\frac{n(AB)}{n(A)}$，先计算包含点数 5 的事件数，再从中筛选出满足 $\Delta \ge 0$ 的事件数进行计算。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

先后抛掷一枚骰子两次，基本事件总数为 $6\times 6=36$． (1) 方程 $x^2+bx+c=0$ 有实根，则 $\Delta =b^2-4c\ge 0$，即 $b^2\ge 4c$． 当 $b=1$ 时，$c$ 无解； 当 $b=2$ 时，$c=1$（1个）； 当 $b=3$ 时，$c=1,2$（2个）； 当 $b=4$ 时，$c=1,2,3,4$（4个）； 当 $b=5$ 时，$c=1,2,3,4,5,6$（6个）； 当 $b=6$ 时，$c=1,2,3,4,5,6$（6个）． 有实根的满足条件的基本事件数为 $1+2+4+6+6=19$． 故方程有实根的概率 $P=\frac{19}{36}$．

(2) 随机变量 $\xi$ 的所有可能取值为 0, 1, 2． 由 (1) 可知，$\Delta =0⟺b^2=4c$，满足条件的基本事件为 $(2,1),(4,4)$，共 2 个． 所以 $P(\xi =1)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$； $\Delta >0$ 包含的基本事件数为 $19-2=17$ 个，所以 $P(\xi =2)=\frac{17}{36}$； $\Delta <0$ 包含的基本事件数为 $36-19=17$ 个，所以 $P(\xi =0)=\frac{17}{36}$． 则 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	0	1	2
$P$	$\frac{17}{36}$	$\frac{1}{18}$	$\frac{17}{36}$

数学期望 $E(\xi )=0\times \frac{17}{36}+1\times \frac{2}{36}+2\times \frac{17}{36}=1$．

(3) 记“先后两次出现的点数中有 5”为事件 $A$，“方程有实根”为事件 $B$． 事件 $A$ 包含的基本事件有：$(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(6,5)$，共 11 个，即 $n(A)=11$． 事件 $AB$ 表示既包含 5 又满足 $b^2\ge 4c$ 的事件： 当 $b=5$ 时，$(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)$ 均满足条件（6个）； 当 $c=5$ 时，需满足 $b^2\ge 20$，只有 $(5,5),(6,5)$ 满足，其中 $(5,5)$ 已计入． 故 $n(AB)=6+1=7$． 由条件概率公式得：$P(B|A)=\frac{n(AB)}{n(A)}=\frac{7}{11}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，离散型随机变量期望公式，条件概率的计数模型。

2. 核心方法：有序数对穷举法（以 $b$ 或 $c$ 为基准分类计数）。

3. 避坑指南：(2)问中注意“重根按一个计”代表 $\Delta =0$ 时 $\xi =1$，切勿将 $\xi =1$ 与 $\xi =2$ 混淆；(3)问中利用数对计数时，注意 $(5,5)$ 在横纵向枚举时不要重复计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中“抛掷两枚骰子”的经典古典概型试验，通过与二次方程判别式结合，衍生出离散型随机变量结构，是早期高考解答题的经典必考题型。

5. 结论推广：对于二次方程 $x^2+bx+c=0$，若 $b,c$ 是在区间 $[1,N]$ 上的独立连续型均匀分布随机变量，则方程有实根的几何概率可通过计算区域面积比值求得，对应概率满足 ${\int }_1^N\frac{b^2}{4N}\text{d}b$ 的几何测度变换。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷理-18 解-离散型随机变量