2008-天津卷文-19 解-四棱锥垂直与二面角

本题导读

考查线面垂直、异面直线角与二面角。勾股逆定理得 $PA\perp AD$，加 $AB\perp AD$ 证线面垂直；建系后向量夹角转化两个空间角，正余弦互化得 $\arctan \frac{\sqrt{7}}{2}$ 与 $\arctan \frac{\sqrt{39}}{4}$。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(文)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是矩形. 已知 $AB=3$，$AD=2$，$PA=2$，$PD=2\sqrt{2}$，$\angle PAB=60^{\circ }$.

(1)证明 $AD\perp$ 平面 $PAB$；

(2)求异面直线 $PC$ 与 $AD$ 所成的角的大小；

(3)求二面角 $P-BD-A$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. (1)$△PAD$ 中 $P{A}^2+A{D}^2=4+4=8=P{D}^2$，故 $PA\perp AD$；矩形中 $AB\perp AD$；$PA\cap AB=A$，故 $AD\perp$ 平面 $PAB$。
2. (2)由(1)$AD\perp$ 平面 $PAB$，故 $AD\perp AB$、$AD\perp AP$，以 $A$ 为原点、$AB$、$AD$、过 $A$ 垂直于底面的直线为轴建系；$\angle PAB=60^{\circ }$、$PA=2$ 给 $P(1,0,\sqrt{3})$，$C(3,2,0)$。
3. $\cos ⟨\overrightarrow{PC},\overrightarrow{AD}⟩=\frac{\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{PC}||\overrightarrow{AD}|}=\frac{4}{2\sqrt{11}}=\frac{2}{\sqrt{11}}$，$\tan =\frac{\sqrt{7}}{2}$，角为 $\arctan \frac{\sqrt{7}}{2}$。
4. (3)平面 $ABD$ 即 $z=0$，法向量 $(0,0,1)$；平面 $PBD$ 法向量 $n=\left(-2\sqrt{3},-3\sqrt{3},-4\right)$，$\cos =\frac{4}{\sqrt{55}}$，$\tan =\frac{\sqrt{39}}{4}$。

✅【答案】

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(1)证明见解析；(2)$\arctan \frac{\sqrt{7}}{2}$；(3)$\arctan \frac{\sqrt{39}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)在 $△PAD$ 中，$PA=2$，$AD=2$，$PD=2\sqrt{2}$，则 $P{A}^2+A{D}^2=4+4=8=P{D}^2,$ 由勾股定理的逆定理，$PA\perp AD$. 又底面 $ABCD$ 是矩形，所以 $AB\perp AD$. 因为 $PA\cap AB=A$，$PA$、$AB\subset$ 平面 $PAB$，所以 $AD\perp$ 平面 $PAB$. (2)由(1)知 $AD\perp$ 平面 $PAB$，所以 $AD\perp AB$，$AD\perp AP$. 以 $A$ 为原点，$AB$、$AD$ 所在直线为 $x$、$y$ 轴，过 $A$ 且垂直于底面的直线为 $z$ 轴建系，则 $A(0,0,0),B(3,0,0),D(0,2,0),C(3,2,0).$ 由 $PA=2$、$\angle PAB=60^{\circ }$，得 $P(1,0,\sqrt{3})$. $\overrightarrow{PC}=(2,2,-\sqrt{3})$，$\overrightarrow{AD}=(0,2,0)$， $\cos ⟨\overrightarrow{PC},\overrightarrow{AD}⟩=\frac{\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{PC}||\overrightarrow{AD}|}=\frac{4}{\sqrt{11}\times 2}=\frac{2}{\sqrt{11}}.$ 设所成角为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{2}{\sqrt{11}}$，$\sin \theta =\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{11}}$，$\tan \theta =\frac{\sqrt{7}}{2}$， $\theta =\arctan \frac{\sqrt{7}}{2}.$ (3)平面 $ABD$ 即坐标面 $z=0$，取法向量 $n_1=(0,0,1)$. $\overrightarrow{BP}=(-2,0,\sqrt{3})$，$\overrightarrow{BD}=(-3,2,0)$，设平面 $PBD$ 的法向量 $n_2=(x,y,z)$，则 $\{\begin{array}{l}-2x+\sqrt{3}z=0,\\ -3x+2y=0,\end{array}$ 取 $x=-2\sqrt{3}$，得 $n_2=\left(-2\sqrt{3},-3\sqrt{3},-4\right)$. $\cos ⟨n_1,n_2⟩=\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1||n_2|}=\frac{4}{\sqrt{12+27+16}}=\frac{4}{\sqrt{55}}.$ 设二面角 $P-BD-A$ 的大小为 $\phi$，则 $\cos \phi =\frac{4}{\sqrt{55}}$，$\sin \phi =\frac{\sqrt{39}}{\sqrt{55}}$，$\tan \phi =\frac{\sqrt{39}}{4}$， $\phi =\arctan \frac{\sqrt{39}}{4}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四棱锥中的垂直与空间角

核心方法：$P{A}^2+A{D}^2=P{D}^2\Rightarrow PA\perp AD$；$\cos \frac{4}{\sqrt{11}}$、$\frac{4}{\sqrt{55}}$ 分别对应 $\arctan \frac{\sqrt{7}}{2}$、$\arctan \frac{\sqrt{39}}{4}$

避坑指南：勾股逆定理是证线线垂直的隐藏通道；线面垂直一旦确立即可建系；异面直线角与二面角统一由向量夹角余弦给出，再化正切作答。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“垂直证明 + 两个空间角”是立几解答题三段式，2009 湖北文第 18 题、2010 大纲Ⅰ文第 20 题同型。

结论推广：$\cos \theta =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}$；$\tan \theta =\frac{\sqrt{1-{\cos }^2\theta }}{\cos \theta }$（$\theta$ 为锐角）。

方法推广：异面直线角必为锐角或直角，向量夹角可能为钝角，取绝对值；二面角需确认开口方向，本题由图形与法向量夹角一致取正。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-19 解-四棱锥线面角
• 2009-湖北卷文-18 解-四棱锥垂直与二面角
• 2010-大纲卷I文-20 解-四棱锥垂直与二面角
• 2010-天津卷文-19 解-异面直线角与二面角