2008-安徽卷文-05 单-余弦定理求角

本题导读

本题由三边求 $\angle BAC$：直接套余弦定理 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(文)） 在三角形 $ABC$ 中，$AB=5$，$AC=3$，$BC=7$，则 $\angle BAC$ 的大小为()

A. $\frac{2\pi }{3}$　　　　　　　B. $\frac{5\pi }{6}$　　　　　　　C. $\frac{3\pi }{4}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{3}$

🔍【思路分析】

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1. $\angle BAC$ 的对边是 $BC=7$，邻边 $AB=5$，$AC=3$。
2. 由余弦定理求 $\cos \angle BAC$，再定角。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由余弦定理，$\cos \angle BAC=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{25+9-49}{2\times 5\times 3}=-\frac{1}{2}$。 又 $\angle BAC\in (0,\pi )$，所以 $\angle BAC=\frac{2\pi }{3}$，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理求角

核心方法：$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$，对边对角要对应

避坑指南：$\angle BAC$ 的对边是 $BC$；余弦为负说明是钝角，别把 $-\frac{1}{2}$ 配成 $\frac{\pi }{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2010 北京文第 10 题、2010 新课标Ⅰ文第 16 题同为余弦定理求角。

结论推广：三边确定角，余弦定理一步到位。

方法推广：先认准”求哪个角、对边是哪条”，再代公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2010-北京卷文-10 填-余弦定理求边
• 2010-新课标卷文-16 填-余弦定理求边
• 2011-新课标卷文-15 填-余弦定理与面积
• 2009-福建卷文-07 单-解三角形面积求角