2008-新课标卷文-03 单-复数运算

本题导读

考查复数运算。$(1-i{)}^2=-2i$，$z-1=-i$，两式相除得 $2$，选 A。

📌【题干】

Question

（2008年新课标卷(文)） 已知复数 $z=1-i$，则 $\frac{z^2}{z-1}=$()

A. $2$　　　　　　　B. $-2$　　　　　　　C. $2i$　　　　　　　D. $-2i$

🔍【思路分析】

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1. 先算 $z^2=(1-i{)}^2$。
2. 再算 $z-1$。
3. 分子分母同除或直接化简。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$z^2=(1-i{)}^2=1-2i+i^2=1-2i-1=-2i,$ $z-1=(1-i)-1=-i.$ 故 $\frac{z^2}{z-1}=\frac{-2i}{-i}=2.$ 故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的代数运算

核心方法：$(1-i{)}^2=-2i$，$z-1=-i$，相除得 $2$

避坑指南：$(1-i{)}^2$ 展开时 $i^2=-1$ 别写成正号；分子分母都是纯虚数时可直接约去 $i$；先化简 $z^2$ 和 $z-1$ 再相除比直接通分更稳。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数四则运算几乎每年出现，2009 新课标Ⅰ文第 2 题、2011 新课标Ⅰ文第 2 题均为除法。

结论推广：$i^2=-1$；$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$；纯虚数相除约去 $i$。

方法推广：先分别化简分子、分母，能约 $i$ 的先约，最后化成 $a+bi$ 形式再判断。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-02 单-复数除法
• 2009-天津卷文-01 单-复数除法
• 2010-新课标卷文-03 单-复数模
• 2011-新课标卷文-02 单-复数除法运算