2008-江苏卷-16 解-线面平行垂直

本题导读

第(1)问用三角形中位线得 $EF\parallel AD$；第(2)问证 $BD\perp$ 平面 $EFC$（$CF$ 与 $EF$ 都垂直于 $BD$），再由 $BD\subset$ 平面 $BCD$ 得面面垂直。

📌【题干】

Question

（2008年江苏卷） 如图，在四面体 $ABCD$ 中，$CB=CD$，$AD\perp BD$，点 $E$，$F$ 分别是 $AB$，$BD$ 的中点. 求证：

(1)直线 $EF\parallel$ 平面 $ACD$；

(2)平面 $EFC\perp$ 平面 $BCD$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 中位线 $EF\parallel AD$，$AD$ 在平面 $ACD$ 内，套线面平行判定定理。
2. (2) 等腰三角形底边中线 $CF\perp BD$，加上 $EF\parallel AD\perp BD$ 得 $EF\perp BD$，两条相交直线都垂直于 $BD$，推出 $BD\perp$ 平面 $EFC$。

✅【答案】

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(1)见解析；(2)见解析

✍【详细解析】

Abstract

证明： (1)在三角形 $ABD$ 中，$E$，$F$ 分别是 $AB$，$BD$ 的中点，所以 $EF$ 是三角形 $ABD$ 的中位线， 故 $EF\parallel AD$。又 $AD\subset$ 平面 $ACD$，$EF⊈$ 平面 $ACD$， 所以直线 $EF\parallel$ 平面 $ACD$。 (2)在三角形 $BCD$ 中，$CB=CD$，$F$ 是底边 $BD$ 的中点，所以 $CF\perp BD$。 由(1)知 $EF\parallel AD$，而 $AD\perp BD$，故 $EF\perp BD$。 又 $EF\cap CF=F$，$EF$，$CF\subset$ 平面 $EFC$，所以 $BD\perp$ 平面 $EFC$。 又 $BD\subset$ 平面 $BCD$，所以平面 $EFC\perp$ 平面 $BCD$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行与面面垂直的判定

核心方法：中位线平行过渡；线线垂直推出线面垂直

避坑指南：判定定理的三个条件要写全（相交、在内、垂直）；$EF\parallel AD$ 与 $AD\perp BD$ 结合才能迁移出 $EF\perp BD$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 江苏卷第 16 题、2011 江苏卷第 16 题同型，江苏卷高频证明题。

结论推广：线面平行常用中位线或平行四边形过渡。

方法推广：面面垂直先找线面垂直，垂直线要选与两个平面都相关的（如 $BD$）。

🔗【关联脉络】

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