2008-浙江卷文-17 填-奇偶相邻排列

本题导读

本题用 $1\sim 6$ 组六位数，要求相邻数字奇偶性不同且 $1$、$2$ 相邻：先定奇偶排布模式，再对”$1$ 与 $2$ 相邻”分类计数。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(文)） 用 $1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$ 组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 $1$ 和 $2$ 相邻，这样的六位数的个数是 $\underline{}$.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 三个奇数 $1,3,5$、三个偶数 $2,4,6$，相邻奇偶性不同，排布只能为”奇偶奇偶奇偶”或”偶奇偶奇偶奇”。
2. 分别讨论 $1$（奇）与 $2$（偶）相邻的排法数，再安排其余四个数。

✅【答案】

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$40$

✍【详细解析】

Abstract

六个数字中有三个奇数 $1,3,5$ 和三个偶数 $2,4,6$。相邻数字奇偶性不同，所以奇偶性只能按”奇偶奇偶奇偶”或”偶奇偶奇偶奇”排列。 对于第一种排列，数字 $1$ 位于三个奇数位置时，与数字 $2$ 相邻的偶数位置数分别为 $1,2,2$，故 $1$、$2$ 的相邻安排有 $1+2+2=5$ 种。确定它们后，剩余两个奇数和两个偶数分别排列，有 $2!\times 2!$ 种，因此共有 $5\times 2!\times 2!=20$ 个。 对于第二种排列，同理数字 $1$ 与数字 $2$ 的相邻安排数为 $2+2+1=5$，所以也有 $20$ 个。 总数为 $20+20=40$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：排列中的相邻与奇偶约束

核心方法：先定奇偶模式，再对”$1$、$2$ 相邻”分类

避坑指南：两种奇偶模式都要算，各 $20$ 个；“相邻安排数”是 $1+2+2$（或 $2+2+1$）而非简单相乘。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 重庆卷文第 13 题、2012 大纲卷文第 7 题同考特殊排列。

结论推广：相邻用捆绑法，奇偶相间先定奇偶位置模式。

方法推广：分类要完整，两种奇偶模式都别漏；计数后再验一遍总数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.08 奇偶数列

类题演练 (Links)

• 2012-大纲卷文-07 单-排列特殊元素
• 2009-重庆卷文-13 填-不相邻排列
• 2013-重庆卷文-13 填-古典概型相邻
• 2009-四川卷文-11 单-限制排列