2008-浙江卷文-20 解-线面平行二面角

本题导读

本题是立体几何综合：第(1)问用平行四边形过渡证 $AE\parallel$ 平面 $DCF$；第(2)问建系，用二面角 $A-EF-C$ 为 $60^{\circ }$ 反求 $AB$ 的长。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(文)） 如图，矩形 $ABCD$ 和梯形 $BEFC$ 所在平面互相垂直，$BE\parallel CF$，$\angle BCF=\angle CEF=90^{\circ }$，$AD=\sqrt{3}$，$EF=2$.

(1)求证：$AE\parallel$ 平面 $DCF$；

(2)当 $AB$ 的长为何值时，二面角 $A-EF-C$ 的大小为 $60^{\circ }$？

🔍【思路分析】

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1. (1) 在梯形 $BEFC$ 内过 $E$ 作 $EG\perp CF$，证四边形 $BCGE$、$ADGE$ 均为平行四边形，得 $AE\parallel DG$，而 $DG\subset$ 平面 $DCF$。
2. (2) 建系：以 $B$ 为原点、$BC$ 为 $x$ 轴，设 $AB=h$，由 $EF=2$ 与 $\angle CEF=90^{\circ }$ 定 $E,F$，再用法向量表示二面角余弦，令其为 $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ 解 $h$。

✅【答案】

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(1)见解析；(2)$AB=\frac{9}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)在梯形 $BEFC$ 所在平面内，过点 $E$ 作 $EG\perp CF$，垂足为 $G$。由 $BE\parallel CF$ 且 $BC\perp CF$，可知 $EG\parallel BC$。 又因为 $G$ 在直线 $CF$ 上，所以四边形 $BCGE$ 是平行四边形，从而 $EG=BC$。 矩形 $ABCD$ 中 $AD\parallel BC$，且 $AD=BC$，所以 $AD\parallel EG$ 且 $AD=EG$。 因此四边形 $ADGE$ 是平行四边形，故 $AE\parallel DG$。 由于 $D$，$C$，$F$ 确定平面 $DCF$，且 $G\in CF$，所以 $DG\subset$ 平面 $DCF$。 又因平面 $ABCD$ 与平面 $DCF$ 的交线为 $DC$，而 $A⊈$ 平面 $DCF$，因而 $AE\parallel$ 平面 $DCF$。 (2)取梯形 $BEFC$ 所在平面为 $z=0$，以 $B$ 为原点、$BC$ 所在直线为 $x$ 轴，建立空间直角坐标系。 由 $AD=BC=\sqrt{3}$，以及 $BE\parallel CF$、$BC\perp CF$，可设 $B=(0,0,0)$，$C=(\sqrt{3},0,0)$，$E=(0,m,0)$，$F=(\sqrt{3},n,0)$，其中 $m=BE>0$，$n=CF>0$。 矩形所在平面与梯形所在平面垂直，且 $AB\perp BC$，所以 $AB\perp$ 梯形所在平面。设 $h=AB$，则可取 $A=(0,0,h)$，$D=(\sqrt{3},0,h)$。 由 $EF=2$，得 $3+(n-m{)}^2=4$。又因为 $\angle CEF=90^{\circ }$，所以 $\overrightarrow{EC}\cdot \overrightarrow{EF}=(\sqrt{3},-m,0)\cdot (\sqrt{3},n-m,0)=3-m(n-m)=0$， 因此 $m(n-m)=3>0$。结合 $(n-m{)}^2=1$ 和 $m>0$，可得 $n-m=1$，从而 $m=3$，$n=4$。 平面 $CEF$ 的一个法向量为 ${\mathbf{n}}_1=(0,0,1)$。平面 $AEF$ 的一个法向量为 ${\mathbf{n}}_2=\overrightarrow{AE}\times \overrightarrow{AF}=(0,3,-h)\times (\sqrt{3},4,-h)=(h,-\sqrt{3}h,-3\sqrt{3})$。 设二面角 $A-EF-C$ 的大小为 $\theta$，则两平面夹角的余弦为 $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{4h^2+27}}$。 当 $\theta =60^{\circ }$ 时，有 $\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{4h^2+27}}=\frac{1}{2}$，即 $4h^2+27=108$，$h^2=\frac{81}{4}$。 因为 $h=AB>0$，所以 $AB=\frac{9}{2}$。因此，当 $AB=\frac{9}{2}$ 时，二面角 $A-EF-C$ 的大小为 $60^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行与二面角

核心方法：平行四边形过渡证平行；建系用法向量求二面角

避坑指南：(1) 中 $A⊈$ 平面 $DCF$ 是线面平行的前提；(2) 中 $m(n-m)=3$ 与 $(n-m{)}^2=1$ 联立得 $n-m=1$，别漏 $m>0$ 的取舍。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 浙江卷文第 19 题、2011 浙江文第 20 题同考线面平行与二面角。

结论推广：线面平行用平行四边形或中位线过渡；二面角用向量法。

方法推广：建系后二面角余弦用两平面法向量夹角，注意取绝对值对应锐二面角。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-19 解-线面平行与线面角
• 2010-浙江卷文-20 解-翻折线面平行与线面角
• 2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角
• 2010-四川卷文-18 解-正方体公垂线二面角