2009-上海卷理-23 解-等比数列

本题导读

本题考查等差与等比数列的通项与求和、不定方程的整数解。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(理)） 已知 $\{a_n\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，$\{b_n\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列.

(1) 若 $a_n=3n+1$，是否存在 $m,k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，有 $a_m+a_{m+1}=a_k$？请说明理由；

(2) 找出所有数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$，使对一切 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$\frac{a_{n+1}}{a_n}=b_n$，并说明理由；

(3) 若 $a_1=5,d=4,b_1=q=3$，试确定所有的 $p$，使数列 $\{a_n\}$ 中存在某个连续 $p$ 项的和是数列 $\{b_n\}$ 中的一项，请证明.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：直接将通项代入方程 $a_m+a_{m+1}=a_k$，化简为关于 $m,k$ 的二元一次不定方程，通过等式两端的整除特征（模 $3$）判定是否有正整数解。
2. 第二问：由条件知 $a_n\ne 0$。若 $d\ne 0$，当 $n\to \infty$ 时，等差数列相邻项的比值趋近于 $1$，由此可以限定等比数列的公比 $q=1$，再通过代数矛盾排除 $d\ne 0$ 的可能，从而锁定 $d=0$ 的唯一解。
3. 第三问：列出连续 $p$ 项和的表达式 $S_p=p(4m+2p-1)$。由于目标值是 $3^x$，这意味着 $S_p$ 的所有质因数只能是 $3$，故 $p$ 必须是 $3$ 的幂次。随后利用模 $4$ 同余理论，论证对于任意的 $p=3^s$，均存在合法的正整数首项位置 $m$ 与目标项指数 $x$。

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所有满足条件的 $p$ 值为 $p=3^s(s\in \mathbb{N})$（即 $1,3,9,27,\dots$）

✍【详细解析】

Abstract

(1) 第一问求解

不存在满足条件的 $m,k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$。理由如下： 若存在 $m,k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 使得 $a_m+a_{m+1}=a_k$，将 $a_n=3n+1$ 代入得： $(3m+1)+[3(m+1)+1]=3k+1$ 化简整理得： $6m+5=3k+1⟹3(k-2m)=4$ 由于 $m,k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，则 $k-2m\in \mathbb{Z}$，方程左边 $3(k-2m)$ 必为 $3$ 的倍数，而右边 $4$ 不能被 $3$ 整除。 故方程无正整数解，即不存在满足条件的 $m,k$。

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(2) 第二问求解

由题意，对一切 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$\frac{a_{n+1}}{a_n}=b_n$ 恒成立，则 $a_n\ne 0$ 且 $b_n\ne 0$。 设 $a_n=a_1+(n-1)d$，$b_n=b_1{q}^{n-1}$，则有： $\frac{a_1+nd}{a_1+(n-1)d}=b_1{q}^{n-1}(\text{*})$

• 若 $d=0$： 左边 $=\frac{a_1}{a_1}=1$。 此时 $\text{(*)}$ 式化为 $b_1{q}^{n-1}=1$ 对一切 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 恒成立。 令 $n=1$ 得 $b_1=1$；进而对任意 $n$ 恒有 $q^{n-1}=1⟹q=1$。 此时 $a_n=a_1$（$a_1$ 为任意非零常数），$b_n=1$。

• 若 $d\ne 0$： 将 $\text{(*)}$ 式左边变形为：$1+\frac{d}{a_1+(n-1)d}=b_1{q}^{n-1}$。 当 $n\to \infty$ 时，${\lim }_{n\to \infty }\left(1+\frac{d}{a_1+(n-1)d}\right)=1$。 要使等比数列 $b_1{q}^{n-1}$ 在 $n\to \infty$ 时有界且趋于 $1$，必有 $q=1$。 若 $q=1$，则 $\text{(*)}$ 式变为 $1+\frac{d}{a_1+(n-1)d}=b_1$。 由于左边随 $n$ 的变化而变化，右边 $b_1$ 为常数，这导致矛盾。故 $d\ne 0$ 不成立。

综上所述，所有满足条件的数列为： $\{a_n\}$ 是任一非零常数列（即 $a_n=c$，$c\ne 0$），$\{b_n\}$ 是常数列 $b_n=1$。

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(3) 第三问求解

所有的 $p$ 均为 $3$ 的幂次，即 $p=3^s(s\in \mathbb{N})$。证明如下： 由已知条件，等差数列通项为 $a_n=5+4(n-1)=4n+1$，等比数列通项为 $b_n=3\cdot 3^{n-1}=3^n$。 设从 $\{a_n\}$ 的第 $m$ 项开始的连续 $p$ 项之和为 $S$，若 $S$ 是 $\{b_n\}$ 中的第 $x$ 项，则： $S=\frac{p(a_m+a_{m+p-1})}{2}=\frac{p[(4m+1)+(4(m+p-1)+1)]}{2}=p(4m+2p-1)$ 依题意有： $p(4m+2p-1)=3^x(m,x\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ 由于 $3^x$ 的素因数仅有 $3$，故等式左边的因数 $p$ 必须仅含素因数 $3$（或 $p=1$）。 因此，必要性条件为：$p=3^s(s\in \mathbb{N})$。

下面证明充分性：即对任意给定的 $p=3^s(s\in \mathbb{N})$，总存在 $m,x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 满足方程。 将 $p=3^s$ 代入原方程得： $3^s(4m+2\cdot 3^s-1)=3^x⟹4m+2\cdot 3^s-1=3^{x-s}$ 变形得： $4m=3^{x-s}-2\cdot 3^s+1$ 为了保证 $m$ 有正整数解，只需右侧代数式为正数且能被 $4$ 整除。 利用同余理论，因为 $3\equiv -1(\mathrm{mod}4)$，所以： $3^{x-s}-2\cdot 3^s+1\equiv (-1{)}^{x-s}-2\cdot (-1{)}^s+1(\mathrm{mod}4)$

• 当 $s$ 为偶数时，$(-1{)}^s=1$，上式 $\equiv (-1{)}^{x-s}-2+1=(-1{)}^{x-s}-1(\mathrm{mod}4)$。 此时取 $x-s$ 为任意大于 $0$ 的偶数（如 $x-s=2$），则 $(-1{)}^{x-s}-1=0(\mathrm{mod}4)$ 恒成立。
• 当 $s$ 为奇数时，$(-1{)}^s=-1$，上式 $\equiv (-1{)}^{x-s}-2(-1)+1=(-1{)}^{x-s}+3\equiv (-1{)}^{x-s}-1(\mathrm{mod}4)$。 此时同理取 $x-s$ 为任意大于 $0$ 的偶数（如 $x-s=2$），则 $(-1{)}^{x-s}-1=0(\mathrm{mod}4)$ 恒成立。

由此可知，无论 $s$ 为奇数或偶数，只要取 $x=s+2k(k\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ 且 $k$ 充分大，使得 $3^{2k}-2\cdot 3^s+1>0$，方程均有正整数解 $m=\frac{3^{2k}-2\cdot 3^s+1}{4}\in {\mathbb{N}}^{\ast }$。

综上所述，所有满足条件的 $p$ 值为 $p=3^s(s\in \mathbb{N})$（即 $1,3,9,27,\dots$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数列通项公式的高级代数变形，极限思想在离散数列环境下的约束应用，基于素因数唯一分解定理的不定方程分析。
2. 核心方法：

• 极限法压制变数：第(2)问中，处理 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=b_n$ 这种混合多变量的恒等式，通过令 $n\to \infty$ 提取主部极限，直接锁定 $q=1$ 是最快的降维路径。
• 同余系构造法：第(3)问在证明存在性时，无需解出 $m,x$ 的通解，只需利用 $3\equiv -1(\mathrm{mod}4)$ 构建局部的偶数差构造，证明其能被 $4$ 整除即可。

3. 避坑指南：

• 遗漏常数列：在第(2)问中，极易想当然认为 $d\ne 0$ 从而断定无解，忽略了 $d=0$ 时等差数列转化为常数列的退化情形。
• 充分性论证缺失：第(3)问中，很多考生仅通过质因数分解得出 $p=3^s$（必要性）就结束了，漏掉了必须证明“在这个 $p$ 下对应的正整数 $m$ 和 $x$ 确实存在”的充分性闭环。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题具有离散动力系统与不动点的背景。第(2)问的本质是探索什么样的等差特征算子能够与等比特征算子在逐项迭代中保持同构。结果表明，除了最平凡的常数静止态（不动点）外，两种在增长速度上存在根本差异（线性增长 vs 指数增长）的数列是无法通过比值建立完美同构的。
2. 结论推广： 将第(3)问一般化：设等差数列公差为 $d$，等比数列公比为 $q$。若 $d$ 与 $q$ 互质，且满足某个连续 $p$ 项的和等于等比数列的某项，则 $p$ 的质因数集合必定包含于 $q$ 的质因数集合内。若 $q$ 为素数，则 $p$ 必定是 $q$ 的整幂次形式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件
• 2011-浙江卷文-19 解-等差数列倒数成等比
• 2011-湖北卷文-17 解-等差等比数列