2009-北京卷理-06 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理、无理数相等的充要条件。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(理)） 若 $(1+\sqrt{2}{)}^5=a+b\sqrt{2}$ ($a,b$ 为有理数)，则 $a+b=$ ()

A. 45　　　　　　　B. 55　　　　　　　C. 70　　　　　　　D. 80

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用二项式定理展开公式 $(x+y{)}^5={\sum }_{r=0}^5{\text{C}}_5^r{x}^{5-r}{y}^r$ 将左边完全展开。
2. 将含有 $\sqrt{2}$ 的奇数次幂项合并为无理部分，偶数次幂项合并为有理部分。
3. 对应对应系数，分别求出 $a$ 与 $b$ 的值，最后相加。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：根据二项式定理，将 $(1+\sqrt{2}{)}^5$ 展开： $(1+\sqrt{2}{)}^5={\text{C}}_5^0+{\text{C}}_5^1(\sqrt{2})+{\text{C}}_5^2(\sqrt{2}{)}^2+{\text{C}}_5^3(\sqrt{2}{)}^3+{\text{C}}_5^4(\sqrt{2}{)}^4+{\text{C}}_5^5(\sqrt{2}{)}^5$ 分别计算各项的值：

• ${\text{C}}_5^0=1$
• ${\text{C}}_5^1\sqrt{2}=5\sqrt{2}$
• ${\text{C}}_5^2\times 2=10\times 2=20$
• ${\text{C}}_5^3\times 2\sqrt{2}=10\times 2\sqrt{2}=20\sqrt{2}$
• ${\text{C}}_5^4\times 4=5\times 4=20$
• ${\text{C}}_5^5\times 4\sqrt{2}=1\times 4\sqrt{2}=4\sqrt{2}$

将有理项与无理项分别归类相加： $(1+\sqrt{2}{)}^5=(1+20+20)+(5+20+4)\sqrt{2}=41+29\sqrt{2}$ 因为 $a,b$ 为有理数，所以： $a=41,b=29$ 计算得 $a+b=41+29=70$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开定理；无理式多项式配平原理（若 $a+b\sqrt{d}=c+d\sqrt{d}$ 且 $a,b,c,d$ 为有理数，则 $a=c,b=d$）。
2. 核心方法：二项式全项展开法。
3. 避坑指南：计算 $(\sqrt{2}{)}^3$ 和 $(\sqrt{2}{)}^5$ 时，容易因粗心算错指数（如误将 $(\sqrt{2}{)}^5$ 算为 $8\sqrt{2}$），建议逐项细心清点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中二项式定理性质的高级运算习题，常用于数论中逼近实数或研究代数数域 $\mathbf{Q}(\sqrt{2})$ 的性质。
2. 结论推广：若 $(1+\sqrt{2}{)}^n=a_n+b_n\sqrt{2}$，则 $(1-\sqrt{2}{)}^n=a_n-b_n\sqrt{2}$。两式相乘可得 $a_n^2-2b_n^2=(-1{)}^n$，这是著名的佩尔方程（Pell’s Equation）的形式根。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-13 填-二项式特定项
• 2011-大纲卷文-13 填-二项式系数差
• 2011-天津卷理-05 单-二项式定理