2009-四川卷文-03 单-等差等比中项

本题导读

考查等差等比综合。$(1+d{)}^2=1+4d$ 得 $d=2$，$S_{10}=10\times 1+45\times 2=100$，选 B。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(文)） 等差数列 $\{a_n\}$ 的公差不为零，首项 $a_1=1$，$a_2$ 是 $a_1$ 和 $a_5$ 的等比中项，则数列 $\{a_n\}$ 的前 $10$ 项之和是 ()

A. $90$　　　　　　B. $100$　　　　　　C. $145$　　　　　　D. $190$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a_2=1+d$，$a_5=1+4d$，等比中项条件 $(1+d{)}^2=1+4d$。
2. 化简 $d^2-2d=0$，$d\ne 0$，故 $d=2$。
3. $S_{10}=10a_1+\frac{10\times 9}{2}d=10+90=100$。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

由 $a_2$ 是 $a_1$ 和 $a_5$ 的等比中项，得 $(1+d{)}^2=1\times (1+4d)$， 即 $d^2-2d=0$。因为 $d\ne 0$，所以 $d=2$。 于是 $S_{10}=10\times 1+\frac{10\times 9}{2}\times 2=100.$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比中项条件定公差

核心方法：$(1+d{)}^2=1\times (1+4d)$，$d^2-2d=0$

避坑指南：“公差不为零”用于舍去 $d=0$；$S_{10}=10a_1+45d=100$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$a_2$ 是 $a_1,a_5$ 的等比中项 $⟺a_2^2=a_1{a}_5$。

结论推广：求和公式 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ 中 $\frac{10\times 9}{2}=45$。

方法推广：代 $n=1$ 验证选项：$S_1=a_1=1$，四选项的前 $1$ 项和无法区分，需算到底。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-05 单-等差数列基本量
• 2009-大纲卷I文-14 填-等差数列中项
• 2009-山东卷文-13 填-等差数列
• 2009-新课标卷文-08 单-等差数列中项求和