2009-四川卷理-13 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理展开式的通项公式及其应用。关键在于准确写出通项，令字母的指数为零求得常数项。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(理)） ${\left(2x-\frac{1}{2x}\right)}^6$ 的展开式的常数项是$\underline{}$．（用数字作答）

🔍【思路分析】

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1. 写出二项展开式的通项公式 $T_{r+1}$。
2. 整理 $x$ 的指数，令其等于 $0$ 确定 $r$ 的值。
3. 将 $r$ 的值代入系数中求得常数项。

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$-20$

✍【详细解析】

Abstract

二项式 ${\left(2x-\frac{1}{2x}\right)}^6$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_6^r(2x{)}^{6-r}{\left(-\frac{1}{2x}\right)}^r={\mathrm{C}}_6^r{2}^{6-2r}(-1{)}^r{x}^{6-2r}$

令 $6-2r=0$，解得 $r=3$。

代入得常数项为： $T_4={\mathrm{C}}_6^3{2}^0(-1{)}^3=20\times 1\times (-1)=-20$

答案为：$-20$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项展开式的通项公式与常数项。
2. 核心方法：指数代数法。
3. 避坑指南：极易遗漏括号内的负号，导致错算成 $20$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中二项式定理的经典课后习题，是高考填空题的首选基础型考查题。
2. 结论推广：对于 ${\left(a{x}^p+\frac{b}{x^q}\right)}^n$ 的展开式，其常数项对应的 $r$ 满足 $np-r(p+q)=0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-13 填-二项式特定项
• 2011-大纲卷文-13 填-二项式系数差
• 2011-天津卷理-05 单-二项式定理