2009-大纲卷I文-04 单-正切和角公式

本题导读

考查和角公式。由 $\cot \beta =\frac{1}{3}$ 得 $\tan \beta =3$，代入 $\tan (\alpha +\beta )$ 公式，分母 $1-12=-11$。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(文)） 已知 $\tan \alpha =4$，$\cot \beta =\frac{1}{3}$，则 $\tan (\alpha +\beta )=$ ()

A. $\frac{7}{11}$　　　　　　B. $-\frac{7}{11}$　　　　　　C. $\frac{7}{13}$　　　　　　D. $-\frac{7}{13}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\tan \beta =\frac{1}{\cot \beta }=3$。
2. 代入 $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $\cot \beta =\frac{1}{3}$ 得 $\tan \beta =3$。 $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }=\frac{4+3}{1-4\times 3}=-\frac{7}{11},$ 选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角三角函数关系与两角和的正切

核心方法：切化弦前的相互转化 + 代公式

避坑指南：$\tan \beta =\frac{1}{\cot \beta }=3$；分母 $1-4\times 3=-11$，负号别丢。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：两角和与差的正切公式是全国卷高频小题。

结论推广：$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$。

方法推广：见到 $\cot$ 先化为 $\tan$，统一记号再代公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2011-江苏卷-07 填-正切和角与二倍角
• 2012-江西卷文-04 单-同角关系与二倍角正切
• 2011-安徽卷文-21 解-等比数列与正切差角求和