2009-大纲卷I文-13 填-二项式系数

本题导读

考查二项展开式系数。$x^7{y}^3$ 与 $x^3{y}^7$ 项系数均为 $-{\mathrm{C}}_{10}^3$（含 $(-y{)}^k$ 的负号），相加得 $-240$。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(文)） $(x-y{)}^{10}$ 的展开式中，$x^7{y}^3$ 的系数与 $x^3{y}^7$ 的系数之和等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 ${\mathrm{C}}_{10}^k{x}^{10-k}(-y{)}^k$。
2. $x^7{y}^3$ 项：$k=3$，系数 $-{\mathrm{C}}_{10}^3$；$x^3{y}^7$ 项：$k=7$，系数 $-{\mathrm{C}}_{10}^7$。
3. ${\mathrm{C}}_{10}^3={\mathrm{C}}_{10}^7=120$。

✅【答案】

点击查看答案

$-240$

✍【详细解析】

Abstract

$(x-y{)}^{10}$ 的通项为 ${\mathrm{C}}_{10}^k{x}^{10-k}(-y{)}^k$。 $x^7{y}^3$ 项对应 $k=3$，系数为 $(-1{)}^3{\mathrm{C}}_{10}^3=-120$；$x^3{y}^7$ 项对应 $k=7$，系数为 $(-1{)}^7{\mathrm{C}}_{10}^7=-120$。 两系数之和为 $-240$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理的特定项系数

核心方法：通项公式 + 符号处理

避坑指南：$(-y{)}^k$ 的负号别丢：$k=3,7$ 两项系数均为 $-120$；${\mathrm{C}}_{10}^3={\mathrm{C}}_{10}^7=120$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项展开式特定项系数是全国卷常考填空。

结论推广：$(a-b{)}^n$ 通项 ${\mathrm{C}}_n^k{a}^{n-k}(-b{)}^k$，奇数 $k$ 项系数为负。

方法推广：两端对称项系数相等：${\mathrm{C}}_n^k={\mathrm{C}}_n^{n-k}$，可省一半计算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-13 填-二项式特定项
• 2011-重庆卷文-11 填-二项式特定项
• 2012-大纲卷文-13 填-二项式特定项