2009-大纲卷I文-15 填-球的截面

本题导读

考查球的截面。截面圆面积 $3\pi$ 得半径 $\sqrt{3}$，球心到截面距离为 $\frac{R}{2}$，勾股定理得 $R=2$，表面积 $16\pi$。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(文)） 已知 $OA$ 为球 $O$ 的半径，过 $OA$ 的中点 $M$ 且垂直于 $OA$ 的平面截球面得到圆 $M$.若圆 $M$ 的面积为 $3\pi$，则球 $O$ 的表面积等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆 $M$ 半径 $r=\sqrt{3}$；球心 $O$ 到截面距离 $d=\frac{R}{2}$（$M$ 为 $OA$ 中点）。
2. $R^2=d^2+r^2\Rightarrow R^2=\frac{R^2}{4}+3$，解得 $R^2=4$。
3. 表面积 $4\pi R^2$。

✅【答案】

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$16\pi$

✍【详细解析】

Abstract

设球 $O$ 的半径为 $R$。因为 $M$ 是 $OA$ 的中点，所以球心 $O$ 到截面平面的距离为 $\frac{R}{2}$。 圆 $M$ 的面积为 $3\pi$，故其半径 $r=\sqrt{3}$。由勾股定理 $R^2={\left(\frac{R}{2}\right)}^2+r^2=\frac{R^2}{4}+3,$ 解得 $R^2=4$，即 $R=2$。 故球 $O$ 的表面积为 $4\pi R^2=16\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球的截面性质与表面积

核心方法：勾股定理由截面半径求 $R$

避坑指南：$M$ 为 $OA$ 中点 → 球心到截面距离 $\frac{R}{2}$；$\pi r^2=3\pi$ 得 $r=\sqrt{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：球的截面是立体几何高频模型。

结论推广：$r^2+d^2=R^2$，其中 $d$ 为球心到截面的距离。

方法推广：球截面题固定流程：定 $r$ → 定 $d$ → 勾股求 $R$ → 套面积（体积）公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-12 单-球的截面
• 2012-新课标卷文-08 单-球的截面与体积
• 2013-新课标I卷文-15 填-球截面与表面积