2009-大纲卷II文-14 填-二项展开式系数

本题导读

考查二项展开式。通项含 $(-1{)}^k$，由 $x$、$y$ 次数同为 $3$ 定 $k=2$，系数 ${\mathrm{C}}_4^2=6$。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(文)） ${\left(x\sqrt{y}-y\sqrt{x}\right)}^4$ 的展开式中 $x^3{y}^3$ 的系数为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_4^k(x\sqrt{y}{)}^{4-k}(-y\sqrt{x}{)}^k=(-1{)}^k{\mathrm{C}}_4^k{x}^{4-\frac{k}{2}}{y}^{2+\frac{k}{2}}$。
2. $x^3$：$4-\frac{k}{2}=3\Rightarrow k=2$；此时 $y$ 次数 $2+1=3$。
3. 系数 $(-1{)}^2{\mathrm{C}}_4^2=6$。

✅【答案】

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$6$

✍【详细解析】

Abstract

展开式的通项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_4^k{\left(x\sqrt{y}\right)}^{4-k}{\left(-y\sqrt{x}\right)}^k=(-1{)}^k{\mathrm{C}}_4^k{x}^{4-\frac{k}{2}}{y}^{2+\frac{k}{2}}.$ 令 $4-\frac{k}{2}=3$，得 $k=2$，此时 $y$ 的次数为 $2+\frac{k}{2}=3$，恰为 $x^3{y}^3$ 项。 其系数为 $(-1{)}^2{\mathrm{C}}_4^2=6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理的特定项系数

核心方法：通项公式定 $k$

避坑指南：$x$ 的次数 $4-\frac{k}{2}$ 与 $y$ 的次数 $2+\frac{k}{2}$ 之和恒为 $6$，两项次数必须同为 $3$，$k=2$ 唯一；$(-1{)}^k$ 别丢。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项展开式特定项系数是全国卷常考填空。

结论推广：${\left(x\sqrt{y}\right)}^{4-k}{\left(y\sqrt{x}\right)}^k$ 的次数是”半整数”结构，解出的 $k$ 要回代验证另一字母。

方法推广：根号幂写成 $x^{4-k}{y}^{\frac{4-k}{2}}$ 再整理，不易错。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-13 填-二项式系数差
• 2012-重庆卷文-04 单-二项展开式的系数
• 2014-大纲卷文-13 填-二项式定理系数