2009-大纲卷II文-22 解-椭圆存在点与直线

本题导读

圆锥曲线压轴。(1) $e=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 给 $a^2=3c^2$，点线距定 $c=1$；(2) $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ 即 $P$ 为 $A$、$B$ 坐标之和，$P$ 在椭圆上化为关于 $m$ 的方程。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(文)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，过右焦点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$、$B$ 两点，当 $l$ 的斜率为 $1$ 时，坐标原点 $O$ 到 $l$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

(1)求 $a$，$b$ 的值；

(2)$C$ 上是否存在点 $P$，使得当 $l$ 绕 $F$ 转到某一位置时，有 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ 成立？若存在，求出所有的 $P$ 的坐标与 $l$ 的方程；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

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1. (1) $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{1}{3}\Rightarrow a^2=3c^2$，$b^2=2c^2$；斜率 $1$ 时 $l:y=x-c$，$O$ 到 $l$ 距离 $\frac{c}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$c=1$。
2. (2) 设 $l:x=my+1$，联立得 $(2m^2+3)y^2+4my-4=0$；$P=(x_1+x_2,y_1+y_2)$。
3. $x_1+x_2=\frac{6}{2m^2+3}$，$y_1+y_2=\frac{-4m}{2m^2+3}$；$P$ 在椭圆上 $⟺\frac{4}{2m^2+3}=1⟺m^2=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

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(1) $a=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{2}$ (2) 存在。$P\left(\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 时 $l:x=\frac{\sqrt{2}}{2}y+1$；$P\left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 时 $l:x=-\frac{\sqrt{2}}{2}y+1$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 由 $e=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 得 $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{1}{3}$，即 $a^2=3c^2$，$b^2=a^2-c^2=2c^2$。 当 $l$ 的斜率为 $1$ 时，$l:y=x-c$，即 $x-y-c=0$。原点 $O$ 到 $l$ 的距离 $\frac{|-c|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}⟹c=1.$ 故 $a^2=3$，$b^2=2$，即 $a=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{2}$。

（2） 椭圆为 $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$，右焦点 $F(1,0)$。设 $l:x=my+1$（$m\in \mathbf{R}$，含斜率存在的一切情形），代入椭圆方程： $2(my+1{)}^2+3y^2=6⟹(2m^2+3)y^2+4my-4=0.$ 设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则 $y_1+y_2=\frac{-4m}{2m^2+3},y_1{y}_2=\frac{-4}{2m^2+3},$ $x_1+x_2=m(y_1+y_2)+2=\frac{-4m^2}{2m^2+3}+2=\frac{6}{2m^2+3}.$ 由 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，得 $P=(x_1+x_2,y_1+y_2)$。若 $P$ 在椭圆上，则 $\frac{1}{3}{\left(\frac{6}{2m^2+3}\right)}^2+\frac{1}{2}{\left(\frac{-4m}{2m^2+3}\right)}^2=1,$ 即 $\frac{12+8m^2}{(2m^2+3{)}^2}=1⟹\frac{4}{2m^2+3}=1⟹2m^2+3=4⟹m^2=\frac{1}{2}.$ （判别式 $\Delta =16m^2+16(2m^2+3)>0$ 恒成立，交点存在。） 当 $m=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时：$x_P=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，$y_P=\frac{-4m}{4}=-m=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，此时 $l:x=\frac{\sqrt{2}}{2}y+1$； 当 $m=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时：$y_P=\frac{\sqrt{2}}{2}$，此时 $l:x=-\frac{\sqrt{2}}{2}y+1$。 （若 $l$ 垂直于 $x$ 轴，即 $x=1$，则 $A(1,\frac{2\sqrt{3}}{3})$，$B(1,-\frac{2\sqrt{3}}{3})$，$P=(2,0)$ 不在椭圆上，不合题意。） 故存在满足条件的点 $P$：$P\left(\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 与 $P\left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$，对应的 $l$ 分别为 $x=\frac{\sqrt{2}}{2}y+1$ 与 $x=-\frac{\sqrt{2}}{2}y+1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的标准方程与直线与椭圆的位置关系

核心方法：待定系数 + 设 $x=my+1$ + 坐标和向量

避坑指南：$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ 即 $P=(x_1+x_2,y_1+y_2)$；$x_1+x_2$ 用 $x=my+1$ 回代比用韦达定理少算一步；竖直直线 $x=1$ 的情形要单独排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与椭圆交点的对称式是圆锥曲线压轴通法。

结论推广：$x=my+1$ 统一处理斜率存在与零斜率，仅竖直情形需另验。

方法推广：“存在点 $P$“型问题：先把 $P$ 用交点坐标表示，再代曲线方程化成参数方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2012-山东卷文-21 解-椭圆与直线位置关系
• 2011-陕西卷文-17 解-椭圆方程与弦中点
• 2012-安徽卷文-20 解-椭圆焦点三角形与面积