2009-天津卷文-17 解-正余弦定理二倍角

本题导读

三角解答题。$\sin C=2\sin A\Rightarrow AB=2BC=2\sqrt{5}$；余弦定理得 $\cos A=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\sin 2A=\frac{4}{5}$、$\cos 2A=\frac{3}{5}$，$\sin \left(2A-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{10}$。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$BC=\sqrt{5}$，$AC=3$，$\sin C=2\sin A$.

(1)求 $AB$ 的值；

(2)求 $\sin \left(2A-\frac{\pi }{4}\right)$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$，$\sin C=2\sin A\Rightarrow AB=2BC=2\sqrt{5}$。
2. (2) $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB\cdot AC}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\sin A=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
3. $\sin 2A=\frac{4}{5}$，$\cos 2A=\frac{3}{5}$；$\sin \left(2A-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{5}\right)=\frac{\sqrt{2}}{10}$。

✅【答案】

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(1) $AB=2\sqrt{5}$；(2)$\frac{\sqrt{2}}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 由正弦定理 $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$，且 $\sin C=2\sin A$，得 $AB=\frac{\sin C}{\sin A}\cdot BC=2\times \sqrt{5}=2\sqrt{5}.$

（2） 由余弦定理 $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB\cdot AC}=\frac{20+9-5}{2\times 2\sqrt{5}\times 3}=\frac{24}{12\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$ $A$ 为三角形内角，$\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。 于是 $\sin 2A=2\sin A\cos A=2\times \frac{\sqrt{5}}{5}\times \frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{4}{5},\cos 2A={\cos }^{2}A-{\sin }^{2}A=\frac{3}{5}.$ $\sin \left(2A-\frac{\pi }{4}\right)=\sin 2A\cos \frac{\pi }{4}-\cos 2A\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \left(\frac{4}{5}-\frac{3}{5}\right)=\frac{\sqrt{2}}{10}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理与余弦定理、二倍角

核心方法：正弦定边化角 + 余弦定理求 $\cos A$ + 两角差

避坑指南：$\sin C=2\sin A$ 直接边化角为 $AB=2BC$；$\sin 2A=\frac{4}{5}$、$\cos 2A=\frac{3}{5}$ 别写反，两角差公式 $\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{5}\right)$ 只剩 $\frac{1}{5}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形与三角变换是文数解答题第一题的标准配置。

结论推广：$\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$；$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$（对角 $A$ 用两邻边夹角）。

方法推广：求 $\sin A$ 时用 ${\sin }^2+{\cos }^2=1$ 开方取正（$A$ 为内角）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2011-天津卷文-16 解-正余弦定理与二倍角
• 2011-山东卷文-17 解-正余弦定理解三角形
• 2011-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形求高