2009-山东卷文-05 单-新定义运算

本题导读

考查新定义运算。$x\odot (x-2)=x^2+x-2<0$，解得 $-2<x<1$，选 B。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(文)） 在 $\mathbf{R}$ 上定义运算 $\odot$：$a\odot b=ab+2a+b$，则满足 $x\odot (x-2)<0$ 的实数 $x$ 的取值范围为 ()

A. $(0,2)$　　　B. $(-2,1)$　　　C. $(-\infty ,-2)\cup (1,+\infty )$　　　D. $(-1,2)$

🔍【思路分析】

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1. 按定义代入：$x\odot (x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)$。
2. 整理得 $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$。
3. 解 $(x+2)(x-1)<0$，得 $-2<x<1$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由新定义，$x\odot (x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x^2-2x+2x+x-2=x^2+x-2$。 令 $x^2+x-2<0$，即 $(x+2)(x-1)<0$，解得 $-2<x<1$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：新定义运算与一元二次不等式

核心方法：按定义代入化为 $x^2+x-2<0$，因式分解求交集

避坑指南：$x\odot (x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x^2+x-2$，其中 $2a$ 项里的 $a$ 是 $x$，$b$ 项是 $x-2$，代入位置不能错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：新定义题第一步永远是”按定义机械代入”，不要急着找捷径。

结论推广：二次不等式开口向上、小于 $0$ 取两根之间。

方法推广：代回验证一个端点：$x=1$ 时 $x^2+x-2=0$ 不满足严格小于，开区间正确。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

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• 2009-新课标卷文-12 单-min新定义最值
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