2009-山东卷文-08 单-向量中点

本题导读

考查向量中点表示。$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{BM}$（$M$ 为 $AC$ 中点），故 $P$ 与 $M$ 重合，$\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PA}=0$，选 C。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(文)） 设 $P$ 是 $△ABC$ 所在平面内的一点，$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{BP}$，则 ()

A. $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=0$　　　B. $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=0$　　　C. $\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PA}=0$　　　D. $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=0$

🔍【思路分析】

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1. 设 $M$ 为 $AC$ 的中点，则 $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{BM}$。
2. 对照条件得 $\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{BP}/2$，即 $P$ 与 $M$ 重合，$P$ 为 $AC$ 中点。
3. $P$ 为 $AC$ 中点时 $\overrightarrow{PA}=-\overrightarrow{PC}$，即 $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=0$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设 $M$ 是线段 $AC$ 的中点，由向量加法的平行四边形法则，$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BM}$。 由条件 $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{BP}$，得 $\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{BM}$，故 $P$ 与 $M$ 重合，即 $P$ 是 $AC$ 的中点。 于是 $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=0$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量的中点表示

核心方法：$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BM}$（$M$ 为 $AC$ 中点）

避坑指南：条件 $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{BP}$ 即 $P$ 是 $AC$ 中点，由中点得 $\overrightarrow{PA}=-\overrightarrow{PC}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“系数 $2$“出现时优先联想中点公式，而不是急着建系。

结论推广：$P$ 为 $AC$ 中点只保证 $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=0$，与 $B$ 无关。

方法推广：检验：$P$ 为 $AC$ 中点时 $P$ 不一定与 $B$ 有关，含 $B$ 的选项 A、B、D 都不对。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-02 单-向量共线
• 2009-大纲卷I文-08 单-向量夹角
• 2009-大纲卷II文-06 单-向量模长
• 2009-上海卷文-17 单-中点轨迹方程