2009-新课标卷文-06 单-线性规划开区域

本题导读

考查线性规划。可行域是开区域（向上无界），目标函数 $z=x+y$ 在顶点处取到最小值，最大值不存在。

📌【题干】

Question

（2009年新课标卷(文)） 设 $x$，$y$ 满足 $\{\begin{array}{l}2x+y⩾4,\\ x-y⩾-1,\\ x-2y⩽2,\end{array}$ 则 $z=x+y$ ()

A. 有最小值 $2$，最大值 $3$　　　　　　B. 有最小值 $2$，无最大值

C. 有最大值 $3$，无最小值　　　　　　D. 既无最小值，也无最大值

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画出可行域：两条边界交于 $(1,2)$ 与 $(2,0)$，区域向右上方无界延伸。
2. $z=x+y$ 沿方向 $(1,1)$ 增大无上界；最小值在顶点处检验。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $\{\begin{array}{l}2x+y=4,\\ x-y=-1\end{array}$ 得交点 $(1,2)$；由 $\{\begin{array}{l}2x+y=4,\\ x-2y=2\end{array}$ 得交点 $(2,0)$。 可行域位于这三条直线上方（右上方）的公共区域，向右上无界延伸。 直线 $x+y=z$ 平移：当经过顶点 $(2,0)$ 时 $z$ 取最小值 $2$；向右上方平移时 $z$ 无限增大，故 $z$ 无最大值。 选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划可行域与目标函数最值

核心方法：画区域、平移直线、看顶点

避坑指南：可行域”开放”时最大值或最小值可能不存在，先判断区域是否有界再下结论。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划是文数高频题型。

结论推广：$z=x+y$ 的几何意义是直线 $x+y=z$ 的截距参数，平移观察。

方法推广：约束是"$⩾$"时区域往往开向无穷远，两端都要检查。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-天津卷文-02 单-线性规划最值
• 2011-安徽卷文-06 单-线性规划最值
• 2011-新课标卷文-14 填-线性规划