2009-新课标卷文-07 单-向量垂直定参

本题导读

考查向量垂直。先写出 $\lambda \mathbf{a}+\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{a}-2\mathbf{b}$ 的坐标，令数量积为零解出 $\lambda$。

📌【题干】

Question

（2009年新课标卷(文)） 已知 $\mathbf{a}=(-3,2)$，$\mathbf{b}=(-1,0)$，向量 $\lambda \mathbf{a}+\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{a}-2\mathbf{b}$ 垂直，则实数 $\lambda$ 的值为 ()

A. $-\frac{1}{7}$　　　　　　B. $\frac{1}{7}$　　　　　　C. $-\frac{1}{6}$　　　　　　D. $\frac{1}{6}$

🔍【思路分析】

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1. $\lambda \mathbf{a}+\mathbf{b}=(-3\lambda -1,2\lambda )$，$\mathbf{a}-2\mathbf{b}=(-1,2)$。
2. 垂直 $\iff$ 数量积为 $0$，得一元一次方程。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$\lambda \mathbf{a}+\mathbf{b}=(-3\lambda -1,2\lambda )$，$\mathbf{a}-2\mathbf{b}=(-3,2)-2(-1,0)=(-1,2)$。 由垂直得 $(-3\lambda -1)\times (-1)+2\lambda \times 2=0,$ 即 $3\lambda +1+4\lambda =0$，解得 $\lambda =-\frac{1}{7}$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直与坐标运算

核心方法：坐标表示 + 数量积为零

避坑指南：$\lambda \mathbf{a}+\mathbf{b}$ 的横坐标是 $-3\lambda -1$，合并同类项时符号易错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量垂直求参数是向量模块的基础模型。

结论推广：$\mathbf{u}\perp \mathbf{v}⟺\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=0$。

方法推广：先写坐标再点乘，避免直接用几何关系导致漏解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-13 填-向量垂直求参数
• 2011-辽宁卷文-03 单-向量垂直数量积求参
• 2012-陕西卷文-07 单-向量垂直与二倍角