2009-新课标卷文-09 单-正方体动点判定

本题导读

考查正方体中动点问题。$E$，$F$ 在 $B_1{D}_1$ 上滑动且 $EF$ 定长，逐项检验线线垂直、线面平行、体积定值与角定值，其中角随点的位置变化。

📌【题干】

Question

（2009年新课标卷(文)） 如图，正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的棱长为 $1$，线段 $B_1{D}_1$ 上有两个动点 $E$，$F$，且 $EF=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则下列结论中错误的是 ()

A. $AC\perp BE$

B. $EF\parallel \text{平面}ABCD$

C. 三棱锥 $A-BEF$ 的体积为定值

D. 异面直线 $AE$，$BF$ 所成的角为定值

🔍【思路分析】

破题导航

1. A：$AC\perp \text{平面}BD{D}_1{B}_1$，而 $BE\subset \text{平面}BD{D}_1{B}_1$，垂直成立。
2. B：$B_1{D}_1\parallel BD$，故 $EF\parallel \text{平面}ABCD$。
3. C：底面 $△BEF$ 面积固定（$EF$ 定长、$B$ 到 $B_1{D}_1$ 距离固定），高为 $A$ 到平面 $BD{D}_1{B}_1$ 的距离 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，定值。
4. D：让 $E$，$F$ 变动，例如取特殊位置比较角的大小即可发现角在变。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

A 正确：$BD\perp AC$，$A{A}_1\perp AC$，故 $AC\perp \text{平面}BD{D}_1{B}_1$；而 $E$，$F$ 在 $B_1{D}_1$ 上，$BE\subset \text{平面}BD{D}_1{B}_1$，所以 $AC\perp BE$。 B 正确：$B_1{D}_1\parallel BD$，$BD\subset \text{平面}ABCD$，$B_1{D}_1\subset \text{平面}BD{D}_1{B}_1$，故 $EF\parallel B_1{D}_1\parallel \text{平面}ABCD$。 C 正确：$△BEF$ 中 $EF=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 定长，$B$ 到直线 $B_1{D}_1$ 的距离为定值 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，故 $S_{△BEF}=\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{4}$ 为定值；又 $A$ 到平面 $BD{D}_1{B}_1$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，故 $V_{A-BEF}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{24}$ 为定值。 D 错误：当 $E$ 趋近 $B_1$、$F$ 为相应位置时与 $E$，$F$ 取其他位置相比，异面直线 $AE$，$BF$ 所成的角会发生变化，不是定值。 选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体中的线面位置关系

核心方法：线面垂直、线面平行与体积定值逐项检验

避坑指南：“异面直线所成角为定值”这类结论需检验动点不同位置，凭直觉容易误判为真。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正方体动点问题是立体几何选择题的高频压轴。

结论推广：$AC\perp$ 平面 $BD{D}_1{B}_1$ 是正方体的经典垂直模型。

方法推广：判断”定值/定角”时，取两个极端位置比较即可快速排除。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 2011-福建卷文-15 填-正方体线面平行
• 2013-江西卷文-15 填-正方体线面相交
• 2012-山东卷文-13 填-正方体内锥体体积