2009-湖北卷文-19 解-等差数列与递推关系

本题导读

考查数列综合。$a_n=2n-1$；$b_1=2$，$n⩾2$ 时 $b_n=2^{n+1}$，$S_n=2^{n+2}-6$。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(文)） 已知 $\{a_n\}$ 是一个公差大于 $0$ 的等差数列，且满足 $a_3{a}_6=55$，$a_2+a_7=16$.

(1)求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2)若数列 $\{a_n\}$ 和数列 $\{b_n\}$ 满足等式：$a_n=\frac{b_1}{2}+\frac{b_2}{2^2}+\frac{b_3}{2^3}+\cdots +\frac{b_n}{2^n}$（$n$ 为正整数），求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.

🔍【思路分析】

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1. (1) 等差数列中 $a_2+a_7=a_3+a_6=16$，与 $a_3{a}_6=55$ 联立：两根为 $5$ 与 $11$。
2. 公差大于 $0$，故 $a_3=5$，$a_6=11$，$3d=6$，$d=2$，$a_n=2n-1$。
3. (2) $n=1$：$a_1=1=\frac{b_1}{2}$，$b_1=2$。
4. $n⩾2$ 时两式相减：$\frac{b_n}{2^n}=a_n-a_{n-1}=d=2$，故 $b_n=2^{n+1}$。
5. $S_n=2+\sum _{k=2}^n{2}^{k+1}=2+(2^{n+2}-8)=2^{n+2}-6$。

✅【答案】

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(1) $a_n=2n-1$；(2)$S_n=2^{n+2}-6$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由等差数列性质，$a_2+a_7=a_3+a_6=16$。 又 $a_3{a}_6=55$，故 $a_3$，$a_6$ 是方程 $t^2-16t+55=0$ 的两根，解得 $t=5$ 或 $t=11$。 因为公差大于 $0$，所以 $a_3=5$，$a_6=11$，$3d=6$，$d=2$。 又 $a_1=a_3-2d=1$，所以 $a_n=2n-1$。 （2）当 $n=1$ 时，$a_1=1=\frac{b_1}{2}$，得 $b_1=2$。 当 $n⩾2$ 时，$a_{n-1}=\frac{b_1}{2}+\cdots +\frac{b_{n-1}}{2^{n-1}}$，与原式相减得 $\frac{b_n}{2^n}=a_n-a_{n-1}=d=2$，所以 $b_n=2^{n+1}$（$n⩾2$）。 于是 $S_n=b_1+\sum _{k=2}^n{b}_k=2+(2^3+\cdots +2^{n+1})=2+\frac{8(2^{n-1}-1)}{2-1}=2+2^{n+2}-8=2^{n+2}-6$。 （验证：$n=1$ 时 $S_1=2=2^3-6$；$n=2$ 时 $S_2=2+8=10=2^4-6$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列与递推数列

核心方法：性质 $a_2+a_7=a_3+a_6$ + 韦达定理；递推式相邻相减

避坑指南：$a_3$，$a_6$ 为 $5$，$11$；$b_n$ 逐段：$b_1=2$，$n⩾2$ 时 $2^{n+1}$；$S_n=2^{n+2}-6$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差中，下标之和相等的两项和相等：$a_2+a_7=a_3+a_6$ 是化简的钥匙。

结论推广：递推式 $a_n=\sum \frac{b_k}{2^k}$ 型，相邻相减立即得 $b_n$，首项单独算。

方法推广：$S_n$ 含等比段时验证 $n=1$，$2$ 两项，防止 $b_1$ 的例外漏加。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-19 解-等差等比数列
• 2009-大纲卷II文-17 解-等差数列求和
• 2009-山东卷文-20 解-等比数列求和
• 2009-江苏卷-17 解-等差数列整除分析