2009-重庆卷文-13 填-不相邻排列

本题导读

考查不相邻排列。$5!-2\times 4!=120-48=72$ 种。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(文)） $5$ 个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有 $\underline{}$ 种．（用数字作答）

🔍【思路分析】

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1. 五人全排列共 $5!=120$ 种。
2. 甲乙相邻：捆绑为整体，内部 $2$ 种顺序，与另三人共 $4!$ 种，合计 $2\times 4!=48$ 种。
3. 不相邻排法 $120-48=72$ 种。

✅【答案】

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$72$

✍【详细解析】

Abstract

五个人的全排列共有 $5!=120$ 种。把甲、乙看作一个整体时，甲乙或乙甲有 $2$ 种内部顺序， 该整体与另外三人共有 $4!$ 种排列，所以甲、乙相邻的排法有 $2\times 4!=48$ 种。 因此甲、乙不相邻的排法有 $5!-2\times 4!=120-48=72$ 种。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：不相邻排列的间接法

核心方法：总数减相邻：$5!-2\times 4!$

避坑指南：相邻捆绑法：甲乙看作一个整体有 $2\times 4!=48$ 种；也可用插空法 ${\mathrm{A}}_3^3{\mathrm{A}}_4^2=72$ 验证。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：不相邻问题两板斧：插空法（先排无关元素）与间接法（总数减相邻）。

结论推广：插空：先排其余 $3$ 人有 $3!$ 种，产生 $4$ 个空位选 $2$ 个排甲乙 ${\mathrm{A}}_4^2=12$。

方法推广：“用数字作答”要求写 $72$，写 $5!-2\times 4!$ 不得分。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-05 单-四位偶数排列
• 2012-大纲卷文-07 单-排列特殊元素
• 2012-重庆卷文-15 填-排列与古典概型
• 2013-四川卷理-08 单-排列与排列数