2010-上海卷文-23 解-椭圆向量与中点弦

本题导读

考查椭圆与向量。（1）$M\left(\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)$；（2）证 $x_E$ 等于 $CD$ 中点横坐标；（3）$P_1(-6,-4),P_2(8,3)$。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(文)） 已知椭圆 $\Gamma$ 的方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），$A(0,b)$、$B(0,-b)$ 和 $Q(a,0)$ 为 $\Gamma$ 的三个顶点.

(1)若点 $M$ 满足 $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{AB}\right)$，求点 $M$ 的坐标；

(2)设直线 $l_1:y=k_{1}x+p$ 交椭圆 $\Gamma$ 于 $C$、$D$ 两点，交直线 $l_2:y=k_{2}x$ 于点 $E$.若 $k_1\cdot k_2=-\frac{b^2}{a^2}$，证明：$E$ 为 $CD$ 的中点；

(3)设点 $P$ 在椭圆 $\Gamma$ 内且不在 $x$ 轴上，如何构作过 $PQ$ 中点 $F$ 的直线 $l$，使得 $l$ 与椭圆 $\Gamma$ 两个交点 $P_1$、$P_2$ 满足 $\overrightarrow{P{P}_1}+\overrightarrow{P{P}_2}=\overrightarrow{PQ}$？令 $a=10$，$b=5$，点 $P$ 的坐标是 $(-8,-1)$.若椭圆 $\Gamma$ 上的点 $P_1$、$P_2$ 满足 $\overrightarrow{P{P}_1}+\overrightarrow{P{P}_2}=\overrightarrow{PQ}$，求点 $P_1$、$P_2$ 的坐标.

🔍【思路分析】

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1. （1）$M=A+\frac{1}{2}[(Q-A)+(B-A)]=\frac{A+Q+B}{2}$。
2. （2）代入消元用韦达定理：$x_C+x_D=-\frac{2a^2{k}_{1}p}{b^2+a^2{k}_1^2}$；由 $k_1{k}_2=-\frac{b^2}{a^2}$ 化简得中点横坐标 $=\frac{p}{k_2-k_1}=x_E$。
3. （3）$\overrightarrow{P{P}_1}+\overrightarrow{P{P}_2}=\overrightarrow{PQ}⟺P_1+P_2=P+Q⟺F$ 是 $P_1{P}_2$ 的中点；点差法得斜率 $k=-\frac{b^2{x}_F}{a^2{y}_F}$。
4. $F(1,-0.5)$，$k=\frac{1}{2}$，$l:y=\frac{1}{2}x-1$，与椭圆联立得 $x^2-2x-48=0$。

✅【答案】

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(1) $M\left(\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)$

(3) 作法：取 $PQ$ 中点 $F$，过 $F$ 作斜率为 $-\frac{b^2{x}_F}{a^2{y}_F}$ 的直线 $l$；$P_1(-6,-4)$，$P_2(8,3)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$\overrightarrow{AQ}=(a,-b)$，$\overrightarrow{AB}=(0,-2b)$， $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{AB}\right)=\left(\frac{a}{2},-\frac{3b}{2}\right),$ 故 $M=A+\overrightarrow{AM}=\left(\frac{a}{2},b-\frac{3b}{2}\right)=\left(\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right).$ （2）把 $y=k_{1}x+p$ 代入 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$： $\left(b^2+a^2{k}_1^2\right)x^2+2a^2{k}_{1}px+a^2\left(p^2-b^2\right)=0.$ 设 $C(x_1,y_1)$，$D(x_2,y_2)$，由韦达定理： $x_1+x_2=-\frac{2a^2{k}_{1}p}{b^2+a^2{k}_1^2},$ $CD$ 中点的横坐标为 $\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{a^2{k}_{1}p}{b^2+a^2{k}_1^2}.$ 由 $k_1{k}_2=-\frac{b^2}{a^2}$ 得 $b^2=-a^2{k}_1{k}_2$，于是 $b^2+a^2{k}_1^2=a^2{k}_1(k_1-k_2),\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{a^2{k}_{1}p}{a^2{k}_1(k_1-k_2)}=\frac{p}{k_2-k_1}.$ 而 $E$ 是 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点：$k_{1}x+p=k_{2}x\Rightarrow x_E=\frac{p}{k_2-k_1}$。 中点与 $E$ 都在直线 $l_1$ 上且横坐标相同，故 $E$ 为 $CD$ 的中点。 （3）$\overrightarrow{P{P}_1}+\overrightarrow{P{P}_2}=\overrightarrow{PQ}⟺P_1+P_2=P+Q$（坐标意义下）， 即 $PQ$ 的中点 $F$ 也是 $P_1{P}_2$ 的中点。 构作方法：取 $PQ$ 的中点 $F$；当 $y_F\ne 0$ 时，由点差法，以 $F$ 为中点的弦所在直线斜率 $k$ 满足 $k\cdot \frac{y_F}{x_F}=-\frac{b^2}{a^2}$，即 $k=-\frac{b^2{x}_F}{a^2{y}_F},$ 过 $F$ 作该斜率的直线 $l$ 即为所求。 当 $a=10$，$b=5$，$P(-8,-1)$，$Q(10,0)$ 时，椭圆为 $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{25}=1$，$F(1,-\frac{1}{2})$， $k=-\frac{25\times 1}{100\times \left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{1}{2},l:y+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(x-1)\text{即}y=\frac{1}{2}x-1.$ 代入椭圆方程： $\frac{x^2}{100}+\frac{{\left(\frac{1}{2}x-1\right)}^2}{25}=1\Rightarrow x^2-2x-48=0,$ 解得 $x=8$ 或 $x=-6$，对应 $y=3$ 或 $y=-4$。 故 $P_1(-6,-4),P_2(8,3).$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆与向量综合、中点弦

核心方法：向量条件坐标化，韦达定理证中点，点差法定弦斜率

避坑指南：（3）中 $\overrightarrow{P{P}_1}+\overrightarrow{P{P}_2}=\overrightarrow{PQ}$ 等价于 $F$ 同时是 $PQ$ 与 $P_1{P}_2$ 的中点，这是几何转化的核心；点差法斜率 $k=-\frac{b^2{x}_F}{a^2{y}_F}$ 要求 $y_F\ne 0$，与”$P$ 不在 $x$ 轴上”呼应。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆中点弦结论：以 $(x_0,y_0)$ 为中点的弦的斜率 $k=-\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}$。

结论推广：向量等式 $\overrightarrow{P{P}_1}+\overrightarrow{P{P}_2}=\overrightarrow{PQ}$ 的几何意义是平行四边形对角线互相平分。

方法推广：联立直线与椭圆、韦达定理求中点，是解析几何解答题的标准动作。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-21 解-椭圆向量模长
• 2009-大纲卷II文-22 解-椭圆存在点与直线
• 2009-江西卷文-22 解-椭圆内切圆
• 2009-天津卷文-22 解-椭圆平行比例与外接圆