2010-四川卷文-16 填-封闭集新定义

本题导读

考查新定义。①三项运算均保持 $a+b\sqrt{3}$ 结构，封闭；②任取 $x\in S$，$x-x=0\in S$；③ $\{0\}$ 是有限封闭集；④ $\{0,1\}$ 不封闭。真命题为①②。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(文)） 设 $S$ 为实数集 $\mathbf{R}$ 的非空子集，若对任意 $x$，$y\in S$，都有 $x+y$，$x-y$，$xy\in S$，则称 $S$ 为封闭集. 下列命题： ①集合 $S=\{a+b\sqrt{3}\mid a,b\in \mathbf{Z}\}$ 为封闭集； ②若 $S$ 为封闭集，则一定有 $0\in S$； ③封闭集一定是无限集； ④若 $S$ 为封闭集，则满足 $S\subseteq T\subseteq \mathbf{R}$ 的任意集合 $T$ 也是封闭集. 其中的真命题是 $\underline{}$. （写出所有真命题的序号）

🔍【思路分析】

破题导航

1. ①：任取 $a+b\sqrt{3}$、$c+d\sqrt{3}$（$a,b,c,d\in \mathbf{Z}$），验证和、差、积的系数仍是整数。
2. ②：封闭集非空，取 $x\in S$，则 $x-x=0\in S$。
3. ③：找有限封闭集的反例 $S=\{0\}$。
4. ④：扩大集合可能破坏封闭性，反例 $S=\{0\}$、$T=\{0,1\}$。

✅【答案】

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①②

✍【详细解析】

Abstract

①任取 $a+b\sqrt{3}$ 与 $c+d\sqrt{3}$（$a,b,c,d$ 为整数），则 $(a+b\sqrt{3})+(c+d\sqrt{3})=(a+c)+(b+d)\sqrt{3},$ $(a+b\sqrt{3})-(c+d\sqrt{3})=(a-c)+(b-d)\sqrt{3},$ $(a+b\sqrt{3})(c+d\sqrt{3})=(ac+3bd)+(ad+bc)\sqrt{3},$ 三式的系数均为整数，结果仍在集合中，①正确. ②封闭集非空，任取 $x\in S$，由差的封闭性得 $x-x=0\in S$，②正确. ③$S=\{0\}$ 非空，且对其中任意两个元素进行加、减、乘运算结果仍为 $0$，是有限封闭集，③不正确. ④取封闭集 $S=\{0\}$，$T=\{0,1\}$，则 $S\subseteq T\subseteq \mathbf{R}$，但 $1+1=2\notin T$，$T$ 不是封闭集，④不正确. 综上，真命题的序号为①②.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：封闭集新定义与命题真假

核心方法：①②真；③反例 $\{0\}$；④反例 $\{0\}\subseteq \{0,1\}$ 但 $\{0,1\}$ 不封闭

避坑指南：验证封闭性要加、减、乘三种运算都查；$\{0\}$ 是最常用的反例——既是有限封闭集，又能构造不封闭的超集；②的证明只需任取一个元素作 $x-x$，不必讨论全部元素。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：新定义集合的命题组合是四川卷填空压轴的传统风格，2009 年第 16 题、2011 年第 16 题同型。

结论推广：非空封闭集必含 $0$；$\{0\}$ 是最小的封闭集；封闭性对”扩张集合”不传递。

方法推广：按命题逐个”验证或反例”；有限封闭集只有 $\{0\}$，记住它一举两得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-14 填-新定义孤立元
• 2011-四川卷文-16 填-单函数新定义
• 2012-四川卷文-16 填-不等式真命题判断
• 2011-北京卷文-20 解-E数列新定义