2010-大纲卷I文-09 单-正方体线面角

本题导读

考查线面角。法向量 $(1,-1,1)$，$\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}$，$\cos \theta =\frac{\sqrt{6}}{3}$，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(文)） 正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$B{B}_1$ 与平面 $AC{D}_1$ 所成角的余弦值为()

A. $\frac{\sqrt{2}}{3}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　C. $\frac{2}{3}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{6}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设棱长 $1$：$A(0,0,0)$、$C(1,1,0)$、$D_1(0,1,1)$。
2. 平面 $AC{D}_1$ 法向量 $\mathbf{n}=\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{A{D}_1}=(1,-1,1)$。
3. $B{B}_1$ 方向 $\mathbf{u}=(0,0,1)$：$\sin \theta =\frac{|\mathbf{u}\cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{u}||\mathbf{n}|}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。
4. $\cos \theta =\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设正方体棱长为 $1$，取 $A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$C(1,1,0)$，$D_1(0,1,1)$。 平面 $AC{D}_1$ 的两个方向向量为 $\overrightarrow{AC}=(1,1,0)$ 与 $\overrightarrow{A{D}_1}=(0,1,1)$， 其一个法向量为 $\mathbf{n}=(1,-1,1)$。直线 $B{B}_1$ 的方向向量为 $\mathbf{u}=(0,0,1)$。 设直线与平面所成角为 $\theta$，则 $\sin \theta =\frac{|\mathbf{u}\cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{u}||\mathbf{n}|}=\frac{1}{\sqrt{3}},\cos \theta =\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}.$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面角的向量求法

核心方法：法向量与方向向量夹角的余弦即线面角的正弦

避坑指南：线面角公式是 $\sin \theta =\frac{|\mathbf{u}\cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{u}||\mathbf{n}|}$（正弦！），题问余弦还需平方开方转换。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与平面所成角 $\theta$ 与直线和法向量夹角 $\phi$ 互余：$\sin \theta =\cos \phi$。

结论推广：正方体棱长设为 $1$，平面 $AC{D}_1$ 是正三角形截面，法向量 $(1,-1,1)$ 是体对角线方向。

方法推广：求 $\cos \theta$ 时 $\theta$ 为锐角，开方取正号。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-07 单-正四棱柱线面角
• 2009-新课标卷文-09 单-正方体动点判定
• 2013-大纲卷文-11 单-线面角
• 2012-大纲卷文-19 解-线面垂直与线面角