2011-上海卷理-22 解-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的通项与性质。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(理)）已知数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式分别为 $a_{n} = 3 n + 6$ 、 $b_{n} = 2 n + 7$ ( $n \in N^{*}$ )，将集合 ${x ∣ x = a_{n}, n \in N^{*}} \cup {x ∣ x = b_{n}, n \in N^{*}}$ 中的元素从小到大依次排列，构成数列 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, \dots, c_{n}, \dots$ .

(1) 求 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}$ ；

(2) 求证：在数列 ${a_{n}}$ 中，但不在数列 ${b_{n}}$ 中的项恰为 $a_{2}, a_{4}, \dots, a_{2 n}, \dots$ ；

(3) 求数列 ${c_{n}}$ 的通项公式.

🔍【思路分析】

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对 (1)：写出两数列前几项并合并去重，从小到大排列求出前 4 项。

对 (2)：

分析数列 ${b_{n}}$ 的特征： $b_{n} = 2 n + 7$ ，当 $n \in N^{*}$ 时， $b_{n}$ 取遍所有不小于 9 的奇数；

考查 $a_{k} = 3 k + 6 = 3 (k + 2)$ ：

若 $k$ 为奇数，则 $k + 2$ 为奇数， $a_{k}$ 为不小于 9 的奇数，故必属于 ${b_{n}}$ ；

若 $k$ 为偶数，则 $k + 2$ 为偶数， $a_{k}$ 为偶数，而 ${b_{n}}$ 中全为奇数，故偶数项 $a_{2 n}$ 绝不在 ${b_{n}}$ 中。

对 (3)：

集合并集由 ${b_{n}}$ 的全部奇数项与 ${a_{n}}$ 中不在 ${b_{n}}$ 中的偶数项 $a_{2 k}$ 构成；

$a_{2 k} = 3 (2 k) + 6 = 6 k + 6$ ，即包含所有的正偶数倍的 6（12, 18, 24, …）；

在连续的数中， ${b_{n}}$ 覆盖所有奇数（公差为 2），每 6 个连续整数中有 3 个奇数与 1 个形如 $6 k + 6$ 的数，即每增加 6，数列增加 4 项。通过模 4 分类讨论推导 ${c_{n}}$ 通项。

✅【答案】

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(1) 待补

(2) 证明见解析

(3) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由通项公式，列出数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的前几项： ${a_{n}} : 9, 12, 15, 18, 21, \dots$ ${b_{n}} : 9, 11, 13, 15, 17, \dots$ 将两集合元素合并、去重并按从小到大排序： $c_{1} = 9, c_{2} = 11, c_{3} = 12, c_{4} = 13$

(2) 证明：对于数列 ${b_{n}}$ ，其通项为 $b_{m} = 2 m + 7 (m \in N^{*})$ 。因为 $m \in N^{*}$ ，所以 $b_{m}$ 表示所有大于或等于 9 的奇数。考虑数列 ${a_{n}}$ 的项 $a_{k} = 3 k + 6 (k \in N^{*})$ ：

当 $k$ 为偶数时，设 $k = 2 n (n \in N^{*})$ ，则： $a_{2 n} = 3 (2 n) + 6 = 6 n + 6 = 2 (3 n + 3)$ 此时 $a_{2 n}$ 是偶数。由于数列 ${b_{n}}$ 中的项全为奇数，故偶数 $a_{2 n}$ 必不在数列 ${b_{n}}$ 中。

当 $k$ 为奇数时，设 $k = 2 n - 1 (n \in N^{*})$ ，则： $a_{2 n - 1} = 3 (2 n - 1) + 6 = 6 n + 3$ 令 $2 m + 7 = 6 n + 3$ ，解得： $2 m = 6 n - 4 ⟹ m = 3 n - 2$ 因为 $n \in N^{*}$ ，所以 $m = 3 n - 2 \in N^{*}$ 。这说明 $a_{2 n - 1} = b_{3 n - 2}$ ，即所有的奇数项 $a_{2 n - 1}$ 都在数列 ${b_{n}}$ 中。综上所述，在数列 ${a_{n}}$ 中，但不在数列 ${b_{n}}$ 中的项恰为 $a_{2}, a_{4}, \dots, a_{2 n}, \dots$ 。

(3) 由 (2) 可知，构成数列 ${c_{n}}$ 的元素集合为： ${b_{m} ∣ m \in N^{*}} \cup {a_{2 k} ∣ k \in N^{*}}$ 其中： ${b_{m}}$ 为从 9 开始的所有正奇数： $9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, \dots$ ${a_{2 k}}$ 为从 12 开始的能被 6 整除的正偶数： $12, 18, 24, 30, \dots$ （即 $a_{2 k} = 6 k + 6$ ）。

按每 6 个连续自然数构成的区间进行分组观察：

在 $[6 k + 7, 6 k + 12]$ 区间内：奇数有 3 个： $6 k + 7, 6 k + 9, 6 k + 11$ （均属于 ${b_{n}}$ ）； 6 的倍数有 1 个： $6 k + 12$ （属于 ${a_{2 n}}$ ）；因此每个周期长度为 6 的区间内恰好包含数列 ${c_{n}}$ 的 4 个项。设 $n = 4 k + r$ ，其中 $k \in N$ ， $r \in {1, 2, 3, 4}$ ：

当 $r = 1$ 时， $c_{4 k + 1} = 6 k + 9 = \frac{3 ( 4 k + 1 ) + 15}{2}$ ；

当 $r = 2$ 时， $c_{4 k + 2} = 6 k + 11 = \frac{3 ( 4 k + 2 ) + 16}{2}$ ；

当 $r = 3$ 时， $c_{4 k + 3} = 6 k + 12 = \frac{3 ( 4 k + 3 ) + 15}{2}$ ；

当 $r = 4$ 时， $c_{4 k + 4} = 6 k + 13 = \frac{3 ( 4 k + 4 ) + 14}{2}$ 。

统一写成分段形式：设 $n \in N^{*}$ ，令 $n = 4 k + r$ （ $k \in N, r \in {1, 2, 3, 4}$ ），数列 ${c_{n}}$ 的通项公式为： $c_{n} = ⎩ ⎨ ⎧ 6 k + 9, 6 k + 11, 6 k + 12, 6 k + 13, n = 4 k + 1 n = 4 k + 2 n = 4 k + 3 n = 4 k + 4 (k \in N)$ （亦可表示为： $c_{n} = [\frac{3 n + 15}{2}]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列与集合的交并运算、整数整除与奇偶性分析、周期性抽样并集通项归纳。

核心方法：

奇偶分拆分析 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ 项的重合性；

周期长度确定：公差分别为 3 和 2，最小公倍数为 6，以 6 为周期划分。

避坑指南：

证明题 (2) 必须双向论证（偶数项均不在，奇数项均在）；

写通项时注意余数 $r \in {1, 2, 3, 4}$ 对应的 $k$ 起始值为 0。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数论中的经典贝祖等式与同余划分，考查公差互质等差数列并集的离散计数规律。

结论推广：对公差分别为 $p, q$ （ $g cd (p, q) = 1$ ）的等差数列，其并集在长度为 $pq$ 的区间内呈现周期性分布，每个周期内含有 $p + q - 1$ 个元素。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.01 等差数列全总结

01.01集合的含义、表示与基本运算

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2013-上海卷理-15 单-集合并集

2013-广东卷理-01 单-集合并集

2013-重庆卷理-01 单-集合并集

∑ ( Math )

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