2011-四川卷文-04 单-反函数图象

本题导读

本题考查反函数的求法，以及对数函数的图象与性质。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(文)） 函数 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x+1$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称的图象大致是 ()

A. 　　　　　　　　　B. 　　　　　　　　　C. 　　　　　　　　　D.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：由 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x+1$ 反解得 $y={\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)$
2. 步骤2：按定义域、单调性、特殊点识别图象

✅【答案】

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选 \textbf{A}

✍【详细解析】

Abstract

由 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x+1$ 得 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x=y-1$， 故 $x={\log }_{\frac{1}{2}}(y-1)$，所求反函数为 $y={\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)$（$x>1$）。 其图象：定义域 $(1,+\infty )$，在 $(1,+\infty )$ 上单调递减，且过点 $(2,0)$（因 ${\log }_{\frac{1}{2}}1=0$）。 对照选项：A 递减且过 $(2,0)$；B 递增；C 递增且过 $(0,2)$（是原函数自身）；D 递增且过 $(-2,0)$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数与原函数图象关于直线 $y=x$ 对称；对数函数的定义域、单调性与零点。

核心方法：反解 → 换为 $y$ 关于 $x$ 的表达式 → 三要素（定义域、单调性、定点）筛选图象。

避坑指南：「关于直线 $y=x$ 对称」即求反函数，不要误以为平移；C 恰是原函数图象（递增过 $(0,2)$），是命题人设置的镜像陷阱；对数底为 $\frac{1}{2}$，函数应递减。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：「反函数 + 图象识别」是函数图象板块的经典组合，2011 大纲卷文 02、2012 大纲卷文 02 与本题同练反解功夫。

结论推广：原函数过 $(0,2)$、值域 $(1,+\infty )$；反函数过 $(2,0)$、定义域 $(1,+\infty )$，两组数据关于 $y=x$ 对换，可作快速互检。

方法推广：图象类反函数题不必作图：求出解析式后抓「定义域端点、单调方向、一个定点」三条即可锁定选项。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-02 单-反函数
• 2012-大纲卷文-02 单-反函数
• 2014-大纲卷文-05 单-反函数