2011-天津卷文-07 单-三角函数图象性质

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质，以及周期与最值条件定参。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(文)） 已知函数 $f(x)=2\sin (\omega x+\phi )$，$x\in \mathrm{R}$，其中 $\omega >0$，$-\pi <\phi ⩽\pi$.若 $f(x)$ 的最小正周期为 $6\pi$，且当 $x=\frac{\pi }{2}$ 时 $f(x)$ 取得最大值，则 ()

A. $f(x)$ 在区间 $[-2\pi ,0]$ 上是增函数

B. $f(x)$ 在区间 $[-3\pi ,-\pi ]$ 上是增函数

C. $f(x)$ 在区间 $[3\pi ,5\pi ]$ 上是减函数

D. $f(x)$ 在区间 $[4\pi ,6\pi ]$ 上是减函数

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：由周期定 $\omega =\frac{1}{3}$
2. 步骤2：由最值点定 $\phi =\frac{\pi }{3}$
3. 步骤3：再写单调区间

✅【答案】

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A$f(x)$ 在 $[-2\pi ,0]$ 上是增函数

✍【详细解析】

Abstract

由 $T=\frac{2\pi }{\omega }=6\pi$ 得 $\omega =\frac{1}{3}$。由 $x=\frac{\pi }{2}$ 时取最大值：$\frac{1}{3}\cdot \frac{\pi }{2}+\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi$，即 $\phi =\frac{\pi }{3}+2k\pi$，结合 $-\pi <\phi ⩽\pi$ 得 $\phi =\frac{\pi }{3}$。

故 $f(x)=2\sin (\frac{x}{3}+\frac{\pi }{3})$。令 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi ⩽\frac{x}{3}+\frac{\pi }{3}⩽\frac{\pi }{2}+2k\pi$，得增区间 $[-\frac{5\pi }{2}+6k\pi ,\frac{\pi }{2}+6k\pi ]$。

取 $k=0$：$[-\frac{5\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 包含 $[-2\pi ,0]$，选 A。$[-3\pi ,-\pi ]$ 越出 $-\frac{5\pi }{2}$，不整段递增；同理可验 C、D 不成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：周期公式与”最值点定相位”；正弦型函数单调区间的求法

核心方法：先定 $\omega$，再用最值点代入定 $\phi$（注意取主值），最后解不等式写单调区间并检验选项

避坑指南：最值点条件是 $\omega x_0+\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi$；漏掉 $2k\pi$ 只取 $k=0$ 时可能得到不合 $-\pi <\phi ⩽\pi$ 的 $\phi$；检验区间单调性须整段落入同一单调区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数图象性质题与 2011-新课标卷文-11、2012-天津卷文-07、2013-四川卷文-06 同族。

结论推广：推广：$f(x)=A\sin (\omega x+\phi )$ 在 $x_0$ 处取最大值等价于 $\omega x_0+\phi \equiv \frac{\pi }{2}(\mathrm{mod}2\pi )$；由一个最值点与周期即可完全确定解析式。

方法推广：三角小题：周期定 $\omega$、最值定 $\phi$、单调性验选项，三步流水线；区间端点代入相位比 $\frac{\pi }{2}$ 界最直接。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-11 单-三角函数图象性质
• 2012-天津卷文-07 单-三角函数图象平移
• 2013-四川卷文-06 单-三角函数图象定参