2011-山东卷文-10 单-函数图象识别

本题导读

本题考查函数的图象，以及函数的奇偶性。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(文)） 函数 $y=\frac{x}{2}-2\sin x$ 的图象大致是 ()

A. 　　　　　　　　　B. 　　　　　　　　　C. 　　　　　　　　　D.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：奇函数 + $f^{\prime }(0)<0$（原点附近下降）+ $f(\pi )>0$ 逐项排除

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=\frac{x}{2}-2\sin x$ 是奇函数（两项均为奇），图象关于原点对称且 $f(0)=0$。

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}-2\cos x$，$f^{\prime }(0)=-\frac{3}{2}<0$：图象在原点附近随 $x$ 增大而下降。

在 $[0,2\pi ]$ 上令 $f^{\prime }(x)=0$ 得 $\cos x=\frac{1}{4}$，有两解：$f$ 先降、再升、再降。

而 $f(\pi )=\frac{\pi }{2}>0$，$f(2\pi )=\pi >0$，右侧远端为正。各特征与选项 C 的图象吻合，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数图象的识别；奇偶性与导数定升降

核心方法：抓三件事：奇偶（对称性）、特殊点值（$f(0),f(\pi ),f(2\pi )$）、导数定原点附近升降与极值个数

避坑指南：$\frac{x}{2}$ 与 $2\sin x$ 都是奇函数，和为奇函数——若把首项当成 $\frac{x^2}{2}$ 会误判为非奇非偶；导数 ${\left(\frac{x}{2}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}$，不是 $\frac{x}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数图象识别题与 2012-四川卷文-04、2014-辽宁卷理-03、2011-新课标卷文-10 同族。

结论推广：推广：判断图象选择题的标准流程——定义域 → 奇偶 → 特殊点值 → 导数定升降 → 远端趋势；三步内一般可锁定唯一选项。

方法推广：图象选择题：先排除明显不符的（对称性、正负），再数极值点个数（$f^{\prime }=0$ 在区间内的解数）作最终裁决。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2012-四川卷文-04 单-指数函数图象识别
• 2014-辽宁卷理-03 单-指数函数图象
• 2011-新课标卷文-10 单-零点所在区间