2011-湖北卷文-16 解-正余弦定理解三角形

本题导读

本题考查余弦定理，以及同角三角函数。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(文)） 设 $△ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$. 已知 $a=1$，$b=2$，$\cos C=\frac{1}{4}$.

(1)求 $△ABC$ 的周长；

(2)求 $\cos (A-C)$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：余弦定理求 $c$
2. 步骤2：求出 $\cos A$
3. 步骤3：$\sin A$
4. 步骤4：$\sin C$ 后用 $\cos (A-C)=\cos A\cos C+\sin A\sin C$

✅【答案】

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(1)周长为 $5$

(2)$\cos (A-C)=\frac{11}{16}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由余弦定理：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=1+4-2\times 1\times 2\times \frac{1}{4}=4$，故 $c=2$。

周长 $=a+b+c=1+2+2=5$。

（2）$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{4+4-1}{8}=\frac{7}{8}$，$\sin A=\sqrt{1-\frac{49}{64}}=\frac{\sqrt{15}}{8}$。

$\sin C=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$。

$\cos (A-C)=\cos A\cos C+\sin A\sin C=\frac{7}{8}\times \frac{1}{4}+\frac{\sqrt{15}}{8}\times \frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{7}{32}+\frac{15}{32}=\frac{22}{32}=\frac{11}{16}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理；同角平方关系；两角差余弦公式

核心方法：第一问余弦定理直接求边；第二问把 $A$、$C$ 的正余弦全备齐后套差角公式

避坑指南：$A$、$C$ 均为三角形内角，正弦取正；$\cos (A-C)$ 用 $\cos A\cos C+\sin A\sin C$，别错用减号——那是 $\cos (A+C)$；求 $c$ 时 $c=2$ 与 $b=2$ 相等，对应 $B=C$ 的等腰结构可作旁证。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正余弦定理解三角形题与 2011-山东卷文-17、2012-浙江卷文-18、2012-新课标卷文-17 同族。

结论推广：推广：已知两边及夹角余弦时，三角形完全确定，任何角的三角函数值都可由余弦定理 + 同角关系备齐，进而任意 $\cos (A\pm C)$ 可求。

方法推广：解三角形解答题：先”边角清单”（把所有角的正余弦备齐），再按目标公式组装；数值分数运算要通分细心。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2011-山东卷文-17 解-正余弦定理解三角形
• 2012-浙江卷文-18 解-正余弦定理解三角形
• 2012-新课标卷文-17 解-正余弦定理解三角形