2011-重庆卷文-10 单-四棱锥外接球

本题导读

本题考查四棱锥的外接球，以及球的截面性质。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(文)） 高为 $\sqrt{2}$ 的四棱锥 $S-ABCD$ 的底面是边长为 $1$ 的正方形，点 $S$，$A$，$B$，$C$，$D$ 均在半径为 $1$ 的同一球面上，则底面 $ABCD$ 的中心与顶点 $S$ 之间的距离为 ()

A. $\frac{\sqrt{10}}{2}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$　　　　　　C. $\frac{3}{2}$　　　　　　D. $\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：由底面正方形定出球心必在过底面中心的垂线上
2. 步骤2：求出球心到底面的距离
3. 步骤3：再由 $S$ 的高度定其水平偏移
4. 步骤4：最后勾股合成

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{10}}{2}$。选 \textbf{A}

✍【详细解析】

Abstract

设底面正方形中心为 $O_1$，其对角线的一半为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。 因为 $A,B,C,D$ 四点在球面上且构成正方形，球心 $O$ 必在过 $O_1$ 且垂直于底面的直线上。 由 $R=1$ 及 ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+O{O}_1^2=1$，得 $O{O}_1=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 设 $S$ 在底面上的射影为 $H$，$SH=\sqrt{2}$。由 $S$ 在球面上： $O{H}^2+S{H}^2-2\cdot O{O}_1\cdot SH\cos \angle O{O}_{1}H$ 型计算较繁，改用坐标法： 以 $O_1$ 为原点、底面为 $xy$ 平面，则球心 $O\left(0,0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$（取在 $S$ 一侧），$S(x_0,y_0,\sqrt{2})$。 由 $|OS|=1$：$x_0^2+y_0^2+{\left(\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=1$， 得 $x_0^2+y_0^2=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。 故 $|O_{1}S|=\sqrt{x_0^2+y_0^2+S{H}^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+2}=\frac{\sqrt{10}}{2}$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球心位于过截面圆（外接正方形）中心的垂线上；半径、截面半径、球心到截面距离的勾股关系。

核心方法：定球心位置 → 坐标法设出顶点偏移 → 两次勾股合成距离。

避坑指南：$S$ 在底面上的射影未必是底面中心（本题恰好有水平偏移 $\frac{\sqrt{2}}{2}$），默认「正上方便得 $\sqrt{2}$」会误选 D；球心也可能取在底面另一侧，需检验取舍。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：多面体外接球是立体几何小题的核心题型，2011 新课标Ⅰ文 16（双圆锥外接球）、2012 辽宁文 16 同为「先定球心、再算距离」结构。

结论推广：本构型中顶点 $S$ 的轨迹是底面平面内以 $O_1$ 为圆心、半径 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的圆抬升 $\sqrt{2}$ 后的像，顶点绕中心旋转时 $|O_{1}S|$ 不变。

方法推广：外接球问题三板斧：找对称轴定球心所在直线 → 截面勾股求球心到截面距离 → 对剩余未知量（如顶点偏移）建坐标方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-16 填-双圆锥外接球
• 2012-辽宁卷文-16 填-外接球与三角形面积
• 2013-天津卷文-10 填-正方体外接球