2012-天津卷文-04 单-指对数比较大小

本题导读

本题考查指数幂的化简与比较，以及对数的运算与估值。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(文)） 已知 $a=2^{1.2}$，$b={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-0.8}$，$c=2{\log }_{5}2$，则 $a$，$b$，$c$ 的大小关系为()

A. $c<b<a$　　　　　B. $c<a<b$　　　　　C. $b<a<c$　　　　　D. $b<c<a$

🔍【思路分析】

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$a=2^{1.2}>2>b=2^{0.8}>1>c={\log }_{5}4$，故 $c<b<a$，选 A。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$b={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-0.8}=2^{0.8}$，$c=2{\log }_{5}2={\log }_{5}4$。

由 $y=2^x$ 递增且 $1.2>0.8>0$，得 $a=2^{1.2}>b=2^{0.8}>2^0=1$；

而 $c={\log }_{5}4<{\log }_{5}5=1$。

故 $c<b<a$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数函数的单调性；对数的运算法则与估值

核心方法：负指数化正指数统一底数，再用中间量 $1$ 分层

避坑指南：${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-0.8}$ 别丢负号；$2{\log }_{5}2$ 先合并为 ${\log }_{5}4$ 再比较更直接。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指对数比大小入口题，与 2014 年天津卷文第 4 题、2013 年新课标Ⅱ文第 8 题同族。

结论推广：比较异类数的大小常用 $0$、$1$ 作分界：$2^t>1$（$t>0$）；${\log }_{a}b<1$（$0<b<a$）。

方法推广：化同底或化同指 → 找中间量 → 分段比较；$m{\log }_{a}n={\log }_a{n}^m$ 是常用桥梁。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-04 单-指对数比较
• 2013-新课标II卷文-08 单-对数比较大小
• 2014-湖南卷文-09 单-比较大小