2013-上海卷文-02 填-等差数列性质

本题导读

本题考查等差数列的性质，以及等差数列的通项公式。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(文)）在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = 30$ ，则 $a_{2} + a_{3} =$ .

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等差数列中下标之和相等的两项之和相等： $a_{1} + a_{4} = a_{2} + a_{3}$ 。

故 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = 2 (a_{2} + a_{3}) = 30$ 。

解得 $a_{2} + a_{3} = 15$ 。

✅【答案】

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$15$

✍【详细解析】

Abstract

方法一（对称性质）：在等差数列中， $a_{1} + a_{4} = a_{2} + a_{3}$ （都等于 $2 a_{1} + 3 d$ ），于是 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = 2 (a_{2} + a_{3}) = 30,$ 所以 $a_{2} + a_{3} = 15$ 。方法二（基本量）：设首项 $a_{1}$ 、公差 $d$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = 4 a_{1} + 6 d = 30$ ，两边同除以 $2$ 得 $2 a_{1} + 3 d = 15$ ；而 $a_{2} + a_{3} = 2 a_{1} + 3 d = 15$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的对称求和性质

核心方法： $a_{1} + a_{4} = a_{2} + a_{3}$ （均等于 $2 a_{1} + 3 d$ ），故 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = 2 (a_{2} + a_{3}) = 30$ → $a_{2} + a_{3} = 15$

避坑指南：等差数列中”下标之和相等 ⇒ 两项之和相等”： $a_{1} + a_{4} = a_{2} + a_{3}$ ，别把 $a_{2} + a_{3}$ 误当成 $a_{1} + a_{4}$ 的一半的某个别的组合；本题也可用 $4 a_{1} + 6 d = 30$ 两边除以 $2$ 直接得 $2 a_{1} + 3 d = 15$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列”下标对称”性质是等差数列求和与性质题的第一抓手，与 2013 安徽文 7 的基本量题互为表里。

结论推广：在等差数列中，若 $m + n = p + q$ ，则 $a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q}$ （ $m, n, p, q$ 均为正整数）；特别地 $a_{2} + a_{3} = 2 a_{2.5}$ 不成立，但 $a_{2} + a_{3} = a_{1} + a_{4} = 2 a_{1} + 3 d$ 成立。

方法推广：凡条件给”前若干项之和”、目标问”中间两项之和”，优先找下标对称关系，可省去解 $a_{1}, d$ 的方程组。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.01 等差数列全总结

19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

2013-安徽卷文-07 单-等差数列基本量

2013-大纲卷文-17 解-等差数列与裂项求和

2013-福建卷文-17 解-等差数列基本量

∑ ( Math )

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2013-上海卷文-02 填-等差数列性质

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