2013-北京卷文-03 单-偶函数减区间

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(文)） 下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0,+\infty )$ 上单调递减的是()

A. $y=\frac{1}{x}$　　　　B. $y=e^{-x}$　　　　C. $y=-x^2+1$　　　　D. $y=\lg |x|$

🔍【思路分析】

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1. $y=\frac{1}{x}$ 是奇函数，$y=e^{-x}$ 非偶，排除 A、B。
2. $\lg |x|$ 是偶函数但 $(0,+\infty )$ 上递增；$-x^2+1$ 偶且 $(0,+\infty )$ 递减。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

（A）$y=\frac{1}{x}$：$f(-x)=-\frac{1}{x}=-f(x)$，是奇函数，排除。 （B）$y=e^{-x}$：$f(-x)=e^x\ne f(x)$ 也不等于 $-f(x)$，非奇非偶，排除。 （C）$y=-x^2+1$：$f(-x)=-x^2+1=f(x)$，是偶函数；在 $(0,+\infty )$ 上，$x$ 增大时 $x^2$ 增大、$-x^2+1$ 减小，即单调递减。两个条件都满足。 （D）$y=\lg |x|$：$f(-x)=\lg |-x|=\lg |x|=f(x)$，是偶函数；但 $x>0$ 时 $y=\lg x$ 单调递增，不满足递减，排除。 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数的奇偶性与单调性

核心方法：逐项检验：$y=\frac{1}{x}$ 递增区间不对、$e^{-x}$ 非偶、$-x^2+1$ 偶且 $(0,+\infty )$ 递减、$\lg |x|$ 递增

避坑指南：两个条件都要满足：$y=\lg |x|$ 是偶函数但在 $(0,+\infty )$ 递增；$\frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty )$ 递减但不是偶函数——只查一个条件就选是常见失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数奇偶性与单调性的综合判断（北京卷常考）。

结论推广：偶函数定义 $f(-x)=f(x)$；常用模型：$-x^2+1$ 偶且 $(0,+\infty )$ 递减；$y=\frac{1}{x}$ 非偶；$y=e^{-x}$ 非偶。

方法推广：双条件筛选题：先验奇偶性排除，再验 $(0,+\infty )$ 上的单调性；对含 $|x|$ 的函数用图象（对数曲线关于 $y$ 轴对称后单调性反转）辅助判断。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-15 填-偶函数
• 2015-天津卷文-07 单-偶函数比大小