2013-北京卷文-16 解-空气质量概率

本题导读

本题考查古典概型。核心在于读图列数据、枚举计数的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(文)） 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 $100$ 表示空气质量优良，空气质量指数大于 $200$ 表示空气重度污染. 某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天.

(1)求此人到达当日空气质量优良的概率;

(2)求此人在该市停留期间只有 1 天空气质量重度污染的概率;

(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大? (结论不要求证明)

🔍【思路分析】

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1. 数据（1–13 日）：$86,25,57,143,220,160,40,217,160,121,158,86,79$。
2. (1) $<100$ 的日期 $\{1,2,3,7,12,13\}$ 共 $6$ 天。
3. (2) $>200$ 的只有 5 日、8 日；恰含其一的数对：到达日为 4、5、7、8 日，共 $4$ 种。
4. (3) $220,160,40$（5–7 日）整体偏离均值最远。

✅【答案】

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(1) $\frac{6}{13}$；(2) $\frac{4}{13}$；(3) 从 5 日开始

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由图可读得 3 月 1 日至 13 日的空气质量指数依次为 $86,25,57,143,220,160,40,217,160,121,158,86,79.$ 其中小于 $100$ 的日期组成的集合为 $\{1,2,3,7,12,13\}$，共 $6$ 天。因为到达日等可能地取 3 月 1 日至 3 月 13 日中的一天，所以 $P=\frac{6}{13}.$ (2) 空气质量指数大于 $200$ 的日期为 5 日和 8 日。到达日分别为 1 日至 13 日时，停留期间的指数对依次为 $(86,25),(25,57),(57,143),(143,220),(220,160),(160,40),(40,217),(217,160),(160,121),(121,158),(158,86),(86,79),(79,37).$ 其中恰有一个指数大于 $200$ 的情形有 $4$ 种，即到达日为 4 日、5 日、7 日或 8 日，所以 $P=\frac{4}{13}.$ (3) 从 5 日开始的连续三天数据 $220,160,40$ 的波动最大：其平均数为 $140$，方差为 $\frac{(220-140{)}^2+(160-140{)}^2+(40-140{)}^2}{3}=\frac{6400+400+10000}{3}=5600,$ 比其他各组都大。故从 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：统计图表读数、古典概型与方差

核心方法：从折线图逐日读数：优良（$<100$）有 $6$ 天；停留两天共 $13$ 种等可能情形，恰一天重度污染（$>200$）的有 $4$ 种；比较方差看数据偏离均值的程度

避坑指南：读图后先列数据再计数：停留两天是有序数对（到达日，次日），共 $13$ 对，别数成 $14$；$>200$ 的只有 5 日、8 日两天，含其一的数对两端都要数——漏掉 (5,6)、(8,9) 这类”污染日在中间”的情形是常见错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：古典概型与统计图表、方差（北京卷统计解答题固定风格）。

结论推广：古典概型 $P=\frac{m}{n}$；方差 $s^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$，衡量数据偏离均值的程度。

方法推广：统计解答题三步：读图列数据 → 按题意枚举计数（等可能、不重不漏）→ 套公式作答；判断型小问用”整体偏离均值”直接观察。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-03 单-古典概型
• 2014-天津卷文-15 解-古典概型