2013-四川卷文-13 填-基本不等式取等

本题导读

本题考查基本不等式，以及对勾函数的最值。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(文)） 已知函数 $f(x)=4x+\frac{a}{x}$（$x>0$，$a>0$）在 $x=3$ 时取得最小值，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $4x+\frac{a}{x}⩾4\sqrt{a}$，取等当 $4x=\frac{a}{x}$，即 $x=\frac{\sqrt{a}}{2}$。
2. 由题意 $\frac{\sqrt{a}}{2}=3$ → $\sqrt{a}=6$ → $a=36$。

✅【答案】

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$36$

✍【详细解析】

Abstract

由基本不等式（$x>0$，$a>0$）： $f(x)=4x+\frac{a}{x}⩾2\sqrt{4x\cdot \frac{a}{x}}=4\sqrt{a},$ 当且仅当 $4x=\frac{a}{x}$，即 $x^2=\frac{a}{4}$，$x=\frac{\sqrt{a}}{2}$ 时取等号。 由题设，取等点为 $x=3$： $\frac{\sqrt{a}}{2}=3\Rightarrow \sqrt{a}=6\Rightarrow a=36.$ （交叉验证：$f^{\prime }(x)=4-\frac{a}{x^2}$，$f^{\prime }(3)=0$ 同样得 $a=36$；此时最小值 $f(3)=12+12=24=4\sqrt{a}$。） 故填 $36$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对勾函数的最值与取等点

核心方法：$f(x)=4x+\frac{a}{x}⩾4\sqrt{a}$，取等当 $4x=\frac{a}{x}$ 即 $x=\frac{\sqrt{a}}{2}$；令 $\frac{\sqrt{a}}{2}=3$ → $a=36$

避坑指南：“在 $x=3$ 取得最小值”给出的是取等点：$4x=\frac{a}{x}$ 即 $x^2=\frac{a}{4}$；只算最小值 $4\sqrt{a}$ 而不用取等点定位，条件就用不上；也可用 $f^{\prime }(3)=0$ 交叉验证。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：基本不等式（对勾函数）的最值与取等条件。

结论推广：基本不等式；取等点定位。

方法推广：套 $2\sqrt{4a}$ → 令取等点 $x=\frac{\sqrt{a}}{2}=3$ → 解 $a$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-12 单-基本不等式最值
• 2013-天津卷文-14 填-基本不等式最值