2013-大纲卷文-09 单-三角函数图象

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质，以及周期公式。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(文)） 若函数 $y=\sin (\omega x+\phi )$（$\omega >0$）的部分图象如图所示，则 $\omega =$()

A. $5$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 两点横坐标差为 $\frac{\pi }{4}$，对应 $\frac{T}{2}$。
2. 故 $T=\frac{\pi }{2}$，$\omega =\frac{2\pi }{T}$。

✅【答案】

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（B）

✍【详细解析】

Abstract

由图象，点 $(x_0,y_0)$ 处函数值为 $y_0$，点 $\left(x_0+\frac{\pi }{4},-y_0\right)$ 处函数值为 $-y_0$。 对 $y=\sin (\omega x+\phi )$ 而言，函数值由 $y_0$ 变为 $-y_0$（非零值异号）所需的最小水平距离为半个周期，且图中这两点间恰经历了半个周期，故 $\frac{T}{2}=\left(x_0+\frac{\pi }{4}\right)-x_0=\frac{\pi }{4},$ 即 $T=\frac{\pi }{2}$。 又 $T=\frac{2\pi }{\omega }$，所以 $\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{\frac{\pi }{2}}=4.$ 选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数图象与周期

核心方法：由图象上纵坐标互为相反数的两点间横坐标差为 $\frac{T}{2}$，先求 $T$ 再求 $\omega$

避坑指南：$(x_0,y_0)$ 与 $\left(x_0+\frac{\pi }{4},-y_0\right)$ 关于某条对称轴对称、且之间经历半个周期；若误当成四分之一周期会算出 $\omega =8$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数的图象与性质（全国卷必考）。

结论推广：$y=\sin (\omega x+\phi )$ 的周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$；图象上相邻的”同高异号”两点（$y_0$ 与 $-y_0$，且均为非零值）横坐标相距 $\frac{T}{2}$。

方法推广：读图求 $\omega$ 两步：找准图中两点间的水平距离对应的周期份数 → 用 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 反求。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-14 填-三角函数最值
• 2014-大纲卷理-03 单-正弦函数的单调性