2013-大纲卷文-15 填-线性规划

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，以及简单的线性规划。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(文)） 若 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x⩾0,\\ x+3y⩾4,\\ 3x+y⩽4,\end{array}$ 则 $z=-x+y$ 的最小值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 顶点：$x=0$ 与 $3x+y=4$ 交于 $(0,4)$；$x=0$ 与 $x+3y=4$ 交于 $\left(0,\frac{4}{3}\right)$；两斜线交于 $(1,1)$。
2. $z$ 值分别为 $4$、$\frac{4}{3}$、$0$，最小为 $0$。

✅【答案】

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$0$

✍【详细解析】

Abstract

画出可行域：$x⩾0$ 是 $y$ 轴右侧；$x+3y⩾4$ 在直线上方；$3x+y⩽4$ 在直线下方。三条边界两两相交得三个顶点：

• $x=0$ 与 $3x+y=4$：$(0,4)$；
• $x=0$ 与 $x+3y=4$：$\left(0,\frac{4}{3}\right)$；
• $x+3y=4$ 与 $3x+y=4$：联立解得 $(1,1)$。 把目标函数 $z=-x+y$ 代入各顶点： $z_{(0,4)}=4,z_{\left(0,\frac{4}{3}\right)}=\frac{4}{3},z_{(1,1)}=0.$ 所以 $z$ 的最小值为 $0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划（目标函数最值）

核心方法：画可行域找三个顶点，$z=-x+y$ 分别代入比较

避坑指南：$z=-x+y$ 的等值线斜率为 $1$、截距为 $z$；可行域顶点 $(1,1)$ 给出最小值 $0$——别把 $z=0$ 误当作没有最小值，顶点处取到就是最小。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：简单的线性规划（全国卷高频）。

结论推广：可行域由不等式组的公共部分围成；线性目标函数在最值于顶点处取得。

方法推广：线性规划三步：画可行域 → 求各顶点坐标 → 代入目标函数比较（或用等值线平移）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-15 填-线性规划
• 2013年大纲版理-15