2013-大纲卷理-08 单-椭圆性质

本题导读

本题考查椭圆，以及椭圆的几何性质。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(理)） 椭圆 $C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 的左、右顶点分别为 $A_1,A_2$，点 $P$ 在 $C$ 上且直线 $P{A}_2$ 斜率的取值范围是 $[-2,-1]$，那么直线 $P{A}_1$ 斜率的取值范围是()

A. $[\frac{1}{2},\frac{3}{4}]$　　　B. $[\frac{3}{8},\frac{3}{4}]$　　　C. $[\frac{1}{2},1]$　　　D. $[\frac{3}{4},1]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定顶点坐标：由椭圆方程知 $a^2=4,b^2=3$，故 $A_1(-2,0),A_2(2,0)$。
2. 寻找斜率关系：设 $P(x_0,y_0)$，利用斜率公式表示出 $k_{P{A}_1}$ 和 $k_{P{A}_2}$，并寻找它们的乘积。
   • $k_{P{A}_1}=\frac{y_0}{x_0+2}$，$k_{P{A}_2}=\frac{y_0}{x_0-2}$。
   • $k_{P{A}_1}\cdot k_{P{A}_2}=\frac{y_0^2}{x_0^2-4}$。
3. 利用方程化简：将点 $P$ 代入椭圆方程 $\frac{x_0^2}{4}+\frac{y_0^2}{3}=1$，求出 $\frac{y_0^2}{x_0^2-4}$ 的定值。
4. 范围转化：利用 $k_{P{A}_1}=\frac{\text{定值}}{k_{P{A}_2}}$，结合已知 $k_{P{A}_2}$ 的范围求出 $k_{P{A}_1}$ 的范围。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求出斜率积定值 由椭圆 $C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 可知，$A_1(-2,0),A_2(2,0)$。 设 $P(x_0,y_0)$ 为椭圆上异于顶点的动点，则 $\frac{x_0^2}{4}+\frac{y_0^2}{3}=1⟹\frac{y_0^2}{3}=1-\frac{x_0^2}{4}=\frac{4-x_0^2}{4}$。 由此可得：$\frac{y_0^2}{x_0^2-4}=-\frac{3}{4}$。

计算斜率积： $k_{P{A}_1}\cdot k_{P{A}_2}=\frac{y_0}{x_0+2}\cdot \frac{y_0}{x_0-2}=\frac{y_0^2}{x_0^2-4}=-\frac{3}{4}$。

第二步：求目标斜率范围 已知 $k_{P{A}_2}\in [-2,-1]$。 由 $k_{P{A}_1}=-\frac{3}{4k_{P{A}_2}}$ 可得：

• 当 $k_{P{A}_2}=-2$ 时，$k_{P{A}_1}=-\frac{3}{4\times (-2)}=\frac{3}{8}$；
• 当 $k_{P{A}_2}=-1$ 时，$k_{P{A}_1}=-\frac{3}{4\times (-1)}=\frac{3}{4}$。

由于函数 $f(k)=-\frac{3}{4k}$ 在 $[-2,-1]$ 上是单调递减的， 所以 $k_{P{A}_1}$ 的取值范围是 $[\frac{3}{8},\frac{3}{4}]$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：“定值转化法”。在解析几何中，寻找斜率、距离、面积的定值关系是简化不等式范围问题的捷径。

避坑指南：注意函数 $y=\frac{1}{x}$ 在负区间上的单调性，确保边界值代入后区间顺序正确。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线的倾斜角与斜率、不等式的性质。

结论推广：对于双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，对应斜率之积为定值 $\frac{b^2}{a^2}$。

方法推广：涉及圆锥曲线上的点，优先考虑“点在曲线上”这一方程限制。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-05 单-椭圆
• 2015-新课标II卷文-20 解-椭圆
• 2013-安徽卷文-21 解-椭圆切线唯一性