2013-天津卷理-04 单-球的体积公式

本题导读

本题考查球，以及球的体积公式。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(理)） 已知下列三个命题：

① 若一个球的半径缩小到原来的 $\frac{1}{2}$，则其体积缩小到原来的 $\frac{1}{8}$；

② 若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；

③ 直线 $x+y+1=0$ 与圆 $x^2+y^2=\frac{1}{2}$ 相切.

其中真命题的序号是()

A. ①②③　　　　　　B. ①②　　　　　　C. ①③　　　　　　D. ②③

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析命题 ①：利用球的体积公式 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$，将半径 $R$ 替换为 $\frac{1}{2}R$，看体积倍数的变化。
2. 分析命题 ②：回顾平均数与标准差的概念。平均数反映数据的集中趋势，标准差反映数据的离散程度，两者没有必然的数值相等关系。
3. 分析命题 ③：计算圆心 $(0,0)$ 到直线 $x+y+1=0$ 的距离 $d$，若 $d$ 等于圆的半径 $r$，则相切。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

① 真假判定： 设原球半径为 $R$，体积 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$。 缩小后的半径 $r=\frac{1}{2}R$，体积 $V^{\prime }=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{1}{2}R\right)}^3=\frac{1}{8}\times \left(\frac{4}{3}\pi R^3\right)=\frac{1}{8}V$。 故体积确实缩小到原来的 $\frac{1}{8}$，① 是真命题。

② 真假判定： 平均数相等只能说明两组数据的“中心位置”相同。 例如：数据 A 为 $\{5,5\}$，平均数为 $5$，标准差为 $0$；数据 B 为 $\{0,10\}$，平均数为 $5$，标准差为 $5$。 平均数相等但标准差不等，② 是假命题。

③ 真假判定： 圆 $x^2+y^2=\frac{1}{2}$ 的圆心为 $O(0,0)$，半径 $r=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 圆心 $O$ 到直线 $x+y+1=0$ 的距离： $d=\frac{|0+0+1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 因为 $d=r$，所以直线与圆相切，③ 是真命题。

综上所述，真命题为 ① 和 ③。

故正确答案为：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：几何体的伸缩性质（长度比为 $k$，则体积比为 $k^3$）；统计量的几何意义；点到直线距离公式。

核心方法：“计算判定法”。对于这类组合命题，最可靠的方式是针对每个命题进行独立的数学推导或举反例。

避坑指南：- 命题 ① 中注意区分“缩小了”和“缩小到”。 - 命题 ③ 计算半径时，方程右侧是 $r^2$，不要误认为 $r=\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：方差的计算公式、直线与圆的三种位置关系判定（代数法 $\Delta$ 与几何法 $d$）。

结论推广：相似几何体的面积比等于长度比的平方，体积比等于长度比的立方。

方法推广：“计算判定法”。对于这类组合命题，最可靠的方式是针对每个命题进行独立的数学推导或举反例。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 13.02 外接球和内切球模型
• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2023-新高考I卷-14 填-体积
• 2023-新高考II卷-14 填-体积
• 2015-新课标II卷文-10 单-球与体积