2013-新课标I卷文-06 单-等比数列前n项和

本题导读

本题考查等比数列的前n项和公式，以及数列通项与前n项和的关系。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(文)） 设首项为 $1$、公比为 $\frac{2}{3}$ 的等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，则()

A. $S_n=2a_n-1$　　　B. $S_n=3a_n-2$　　　C. $S_n=4-3a_n$　　　D. $S_n=3-2a_n$

🔍【思路分析】

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1. $S_n=\frac{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}{1-\frac{2}{3}}=3\left[1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\right]$。
2. 又 $a_n={\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}$，把 $S_n$ 用它表示，或代 $n=1$ 排除。

✅【答案】

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（D）

✍【详细解析】

Abstract

由等比数列求和公式 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}{1-\frac{2}{3}}=3\left[1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\right].$ 而 $a_n=a_1{q}^{n-1}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}=\frac{3}{2}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n$，即 ${\left(\frac{2}{3}\right)}^n=\frac{2}{3}{a}_n$。 代入得 $S_n=3\left(1-\frac{2}{3}{a}_n\right)=3-2a_n,$ 选 D。

速验：$n=1$ 时 $S_1=1$，而 $3-2a_1=3-2=1$，四个选项中只有 D 满足。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的前 $n$ 项和公式

核心方法：求和式与通项式互化、特殊值检验

避坑指南：$S_n$ 与 $a_n$ 是两类不同表达式，互化时注意 $a_n=a_1{q}^{n-1}$，别把 $n$ 与 $n-1$ 混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列的前 $n$ 项和与通项的关系。

结论推广：等比数列中 $S_n=\frac{a_1}{1-q}-\frac{q}{1-q}{a}_n$，即 $S_n$ 是 $a_n$ 的一次函数。

方法推广：含 $S_n$ 与 $a_n$ 关系式的选择题，代 $n=1,2$ 验算最快。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-13 填-等比数列
• 2015-新课标II卷文-09 单-等比数列