2013-新课标I卷理-06 单-球的体积与表面积

本题导读

本题考查球，以及球的体积与表面积。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(理)） 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 $8\text{cm}$，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 $6\text{cm}$，如果不计容器的厚度，则球的体积为()

A. $\frac{500\pi }{3}{\text{cm}}^3$　　　B. $\frac{866\pi }{3}{\text{cm}}^3$　　　C. $\frac{1372\pi }{3}{\text{cm}}^3$　　　D. $\frac{2048\pi }{3}{\text{cm}}^3$

🔍【思路分析】

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1. 分析空间位置关系：
   • 球放在正方体容器口，说明正方体的上底面截球得到一个截面圆。
   • 正方体高 $8\text{cm}$，底面边长也为 $8\text{cm}$（正方体性质）。
   • 水深 $6\text{cm}$，且球面恰好接触水面，说明球的最下端点到容器口的垂直距离为 $8-6=2\text{cm}$。
2. 确定关键几何量：
   • 截面圆直径等于正方体棱长 $8\text{cm}$，故截面圆半径 $r=4\text{cm}$。
   • 设球半径为 $R$，球心到截面圆中心的距离（球心距）为 $d$。
   • 根据物理位置，$d=R-2$。
3. 建立方程求解：利用勾股定理 $R^2=r^2+d^2$ 求解 $R$。
4. 计算体积：代入球体体积公式 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract


第一步：分析截面圆性质 正方体容器高 $8\text{cm}$，由于是正方体，其底面正方形边长也为 $8\text{cm}$。 球放在容器口，则容器的上口边缘（正方形）是球的一个内接正方形。 截面圆 $M$ 的直径即为正方形的边长（球与正方形四边中点相切），或者更准确地说，球是搁在容器口的，截面圆半径 $r=\frac{8}{2}=4\text{cm}$。

第二步：确定球心距 已知容器高 $H=8\text{cm}$，当球面接触水面时水深 $h=6\text{cm}$。 此时球的最低点到容器口的距离为 $H-h=8-6=2\text{cm}$。 设球半径为 $R$，则球心到容器口平面的距离为 $d=R-2$。

第三步：勾股定理求半径 在由球半径 $R$、截面圆半径 $r$ 和球心距 $d$ 组成的直角三角形中： $R^2=d^2+r^2$ 代入数据： $R^2=(R-2{)}^2+4^2$ $R^2=R^2-4R+4+16$ $4R=20⟹R=5\text{cm}$

第四步：计算体积 $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \times 5^3=\frac{4}{3}\pi \times 125=\frac{500\pi }{3}{\text{cm}}^3$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球的截面圆性质（$R^2=d^2+r^2$）是解决此类球体组合问题的万能钥匙。

核心方法：轴截面法。通过画出球的轴截面（过球心的平面），将空间几何问题降维成平面几何的圆与线段问题。

避坑指南：- 审题需细心，认清“水深 $6\text{cm}$”与球最低点位置的关系。 - 注意正方体隐含的“棱长 = 高”这一条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：球的表面积公式 $S=4\pi R^2$、正多面体的外接球与内切球。

结论推广：若球完全进入容器且与四壁相切，则 $R=4$；若球是容器的内切球，则 $R=4$。本题属于“搁置”模型。

方法推广：处理“球与多面体相切/衔接”的问题，寻找球心到接触平面的距离是核心。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型
• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-16 填-球的表面积
• 2015-新课标II卷文-10 单-球与体积
• 2013-新课标II卷文-15 填-球表面积