2013-新课标I卷理-16 填-函数对称性

本题导读

本题考查图象与性质，以及函数的对称性。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(理)） 若函数 $f(x)=(1-x^2)(x^2+ax+b)$ 的图象关于直线 $x=-2$ 对称，则 $f(x)$ 的最大值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用对称性求参数：
   • 函数 $f(x)$ 的根关于对称轴 $x=-2$ 成对出现。
   • $1-x^2=0$ 的根为 $x_1=1,x_2=-1$。
   • 根据对称性，由 $x=1$ 对称可得一个根为 $-2-(1-(-2))=-5$；由 $x=-1$ 对称可得另一个根为 $-2-(-1-(-2))=-3$。
   • 这说明 $x^2+ax+b=0$ 的两个根为 $-5$ 和 $-3$。利用韦达定理或因式分解求出 $a,b$。
2. 利用导数求最值：
   • 确定解析式后，求导数 $f^{\prime }(x)$。
   • 令 $f^{\prime }(x)=0$ 求出驻点。
   • 结合单调性判断极大值点，计算对应的函数值即为最大值。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定参数 $a,b$ 由于 $f(x)=(1-x)(1+x)(x^2+ax+b)$，其零点关于 $x=-2$ 对称。 $1-x^2=0$ 的零点为 $1$ 和 $-1$。 关于 $x=-2$ 对称的点分别为： $1\stackrel{\text{关于 }x=-2\text{ 对称}}{\to }-5$； $-1\stackrel{\text{关于 }x=-2\text{ 对称}}{\to }-3$。 因此 $x^2+ax+b=(x+5)(x+3)=x^2+8x+15$。 得到 $a=8,b=15$。

第二步：求导分析单调性 $f(x)=(1-x^2)(x^2+8x+15)=-x^4-8x^3-14x^2+8x+15$。 求导：$f^{\prime }(x)=-4x^3-24x^2-28x+8=-4(x^3+6x^2+7x-2)$。 观察或试根发现 $x=-2$ 是 $f^{\prime }(x)=0$ 的一个根（符合对称轴处导数为0的性质）。 因式分解得：$f^{\prime }(x)=-4(x+2)(x^2+4x-1)$。 令 $f^{\prime }(x)=0$，得 $x_1=-2-\sqrt{5}$，$x_2=-2$，$x_3=-2+\sqrt{5}$。

第三步：判定最值 当 $x<-2-\sqrt{5}$ 时，$f^{\prime }(x)>0$； 当 $-2-\sqrt{5}<x<-2$ 时，$f^{\prime }(x)<0$； 当 $-2<x<-2+\sqrt{5}$ 时，$f^{\prime }(x)>0$； 当 $x>-2+\sqrt{5}$ 时，$f^{\prime }(x)<0$。 由于函数图象关于 $x=-2$ 对称，最大值在 $x=-2\pm \sqrt{5}$ 处取得。 代入 $x=-2+\sqrt{5}$： $1-x^2=1-(-2+\sqrt{5}{)}^2=1-(4+5-4\sqrt{5})=4\sqrt{5}-8$。 $x^2+8x+15=(x+2{)}^2+4x+11$（或者直接用因式 $(x+3)(x+5)$）： $x+3=1+\sqrt{5}$，$x+5=3+\sqrt{5}$。 $(1+\sqrt{5})(3+\sqrt{5})=3+\sqrt{5}+3\sqrt{5}+5=8+4\sqrt{5}$。 $f(-2+\sqrt{5})=(4\sqrt{5}-8)(4\sqrt{5}+8)=(4\sqrt{5}{)}^2-8^2=80-64=16$。

故答案为：16。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对称性决定了零点的分布。若 $f(x)$ 关于 $x=x_0$ 对称，则 $f(x_0+t)=f(x_0-t)$。

核心方法：因式分解法。利用零点对称性直接写出二次项因式，比代入对称轴公式计算解析式更快捷。

避坑指南：- 求导后的因式分解是难点，需牢记对称轴处导数通常为 0（对于可导函数）。 - 计算最大值时，利用平方差公式 $(a-b)(a+b)$ 能显著简化根号运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的奇偶性（关于 $x=0$ 或原点对称的特例）、导数的极值点偏移。

结论推广：四次项系数为负且有两个对称极大值的函数，其形状类似“M”。

方法推广：对于含参数的对称性问题，可以通过 $f(x_1)=f(x_2)$ 且 $\frac{x_1+x_2}{2}=\text{对称轴}$ 建立方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-15 填-函数对称性
• 2015-福建卷文-15 填-函数图象对称性
• 2013-浙江卷文-07 单-二次函数对称