2013-新课标I卷理-24 解-绝对值不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法。核心在于分区间讨论法、数形结合法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(理)） （选修 4-5：不等式选讲）已知函数 $f(x)=|2x-1|+|2x+a|$，$g(x)=x+3$.

(1)当 $a=-2$ 时，求不等式 $f(x)<g(x)$ 的解集；

(2)设 $a>-1$，且当 $x\in [-\frac{a}{2},\frac{1}{2}]$ 时，$f(x)\le g(x)$，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（解不等式）：
   • 当 $a=-2$ 时，$f(x)=|2x-1|+|2x-2|$。
   • 方法一（零点分段法）：根据绝对值内的零点 $x=\frac{1}{2}$ 和 $x=1$ 将数轴分为 $(-\infty ,\frac{1}{2})$，$[\frac{1}{2},1]$，$(1,+\infty )$ 三段讨论，去掉绝对值符号后分别解不等式。
   • 方法二（图象法）：作出 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 的图象，观察交点位置确定解集。
2. 第二问（恒成立问题）：
   • 观察区间 $[-\frac{a}{2},\frac{1}{2}]$。由于 $a>-1$，则 $-\frac{a}{2}<\frac{1}{2}$，区间合理。
   • 在此区间内：$2x-1\le 0$ 且 $2x+a\ge 0$。
   • 利用绝对值定义化简 $f(x)$：$f(x)=-(2x-1)+(2x+a)=1+a$。
   • 问题转化为：在 $x\in [-\frac{a}{2},\frac{1}{2}]$ 时，$1+a\le x+3$ 恒成立。
   • 这是一个关于 $x$ 的一次不等式，只需满足其在左端点处的最小值也成立即可。

✅【答案】

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$(0,2)$；$(-1,\frac{4}{3}]$

✍【详细解析】

Abstract


（Ⅰ）解： 当 $a=-2$ 时，$f(x)=|2x-1|+|2x-2|$。不等式即为 $|2x-1|+|2x-2|<x+3$。

分区间讨论： ① 当 $x<\frac{1}{2}$ 时： $-(2x-1)-(2x-2)<x+3⟹-4x+3<x+3⟹5x>0⟹x>0$。 此时解集为 $(0,\frac{1}{2})$。 ② 当 $\frac{1}{2}\le x\le 1$ 时： $(2x-1)-(2x-2)<x+3⟹1<x+3⟹x>-2$。 此时解集为 $[\frac{1}{2},1]$。 ③ 当 $x>1$ 时： $(2x-1)+(2x-2)<x+3⟹4x-3<x+3⟹3x<6⟹x<2$。 此时解集为 $(1,2)$。

综上所述，不等式的解集为 $(0,2)$。

（Ⅱ）解： 因为 $a>-1$，所以 $-\frac{a}{2}<\frac{1}{2}$。 当 $x\in [-\frac{a}{2},\frac{1}{2}]$ 时： $2x+a\ge 0⟹|2x+a|=2x+a$； $2x-1\le 0⟹|2x-1|=1-2x$。 所以 $f(x)=(1-2x)+(2x+a)=1+a$。

由题意，$f(x)\le g(x)$ 恒成立，即： $1+a\le x+3$ 对 $x\in [-\frac{a}{2},\frac{1}{2}]$ 恒成立。 即 $x\ge a-2$ 对 $x\in [-\frac{a}{2},\frac{1}{2}]$ 恒成立。 只需满足区间左端点处的不等式成立： $-\frac{a}{2}\ge a-2$ $2-a\ge \frac{a}{2}⟹4-2a\ge a⟹3a\le 4⟹a\le \frac{4}{3}$。 结合已知条件 $a>-1$， 故 $a$ 的取值范围为 $(-1,\frac{4}{3}]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值不等式的经典解法；常函数在特定区间内的表现。

核心方法：零点分段法。这是处理含绝对值函数问题的万能方法。第二问中发现 $f(x)$ 在特定区间为常数是解题的捷径。

避坑指南：- 第一问最后汇总解集时注意区间的连通性。 - 第二问中，务必利用 $a>-1$ 确认区间边界的大小关系，否则无法去掉绝对值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：柯西不等式、一元二次不等式的解法、函数的奇偶性。

结论推广：根据绝对值三角不等式，$|x-a|+|x-b|\ge |a-b|$。本题中 $f(x)\ge |(2x+a)-(2x-1)|=|a+1|$。

方法推广：解决 $f(x)\le k$ 恒成立，即 $f(x{)}_{\max }\le k$；解决 $f(x)\ge k$ 恒成立，即 $f(x{)}_{\min }\ge k$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 05.03 专题-恒成立问题
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-24 解-绝对值不等式
• 2014-辽宁卷文-24 解-绝对值不等式
• 2014-江西卷文-15 填-绝对值不等式